8.1 中心投影-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

第８章　投影与识图 ８．１　中心投影 知识点一　投影 定义 投影现象 在光线的照射下,空间中的物体落在平面内的 影子能够反映出该物体的形状和大小,这种现 象叫做投影现象 投影法 投影法是用一组射线(称为投射线)通过空间图 形射向预定平面(称为投影面)上而得到平面图 形的方法 【例１】判断下列现象是不是投影现象． (１)上午妈妈带小明走在马路上,身后会留下母子俩 的影子． (２)在灯光前,将两手交叉握紧,墙壁上就会出现影子． (３)湖边的树木、楼房在平静的湖面上留下的美丽的 倒影． 解:(１)(２)是投影现象,(３)不是投影现象． 4 三个条件辨投影 　　形成投影应具备的条件:第一要有物体存在,第二 要有光线,第三要有一个呈现投影的面,三者缺一不可． 知识点二　中心投影 相关概念 在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影,点光源 叫做投影中心． 'F (１)投影是生活中一种常见 的现象,没有特殊说明时, 本章中的投影问题均指在 平面上形成的投影． (２)光线移动时,物体影子 的大小、方向也随着变化, 物体的形状与影子的形状 有密切的联系． (３)光是沿直线传播的,因 此我们可以由物体和它的 投影确定光线的方向． ５０２ 'F (１)在中心投影中,影子的 长度与四个因素有关:①物 体的形状、大小;②物体到 点光源的距离;③物体的摆 放角度;④物体到投影面的 距离． (２)一般地,在中心投影下, 当一个平面图形与投影面 平行时,这个平面图形在投 影面内的投影是与它相似 的平面图形,其相似比等于 投影中心到平面图形的距 离与投影中心到投影面的 距离之比．  (１)等高的物体垂直于地面 放置时(如图８．１Ｇ１所示), 在灯光下,离点光源近的物 体,它的影子短;离点光源 远的物体,它的影子长． 图８．１Ｇ１ 中心投影的形状 若O 是投影中心,箭头方向表示投射线的方向,H 是 投影面,则点、线段和平面图形(以▱ABCD 为例)在 投影面内的中心投影形状如下表所示: 举例 特征 图示 点 一个点的中心投影还是一个点 线 段 线段 端点 不在 同一 条投 射线 上 当线段 AB 的端点不在同一 条投射线上时,在同一投影面 内,线段AB 的投影A′B′的长 度可能大于线段AB,可能等 于线段AB,也可能小于线段 AB,改变线段 AB 与投影面 所成的角度,它的投影 A′B′ 的长度会发生变化 线段 端点 在同 一条 投射 线上 当线段 AB 的端点在同一条 投射线上时,点 A,B 在同一 投影面内的投影A′,B′重合, 这时线段 AB 在投影面内的 投影是一个点 平 面 图 形 平面 图形 与投 影面 平行 当▱ABCD 平行于投影面时, 它在投影面内的投影是与它 相似的平行四边形 平面 图形 与投 影面 不平 行 当▱ABCD 与投影面不平行 时,其投影的形状和大小会发 生改变,可能是与它不相似的 四边形,它的面积 可 能 大 于 ▱ABCD 的面积,也可能等于 或小于▱ABCD 的面积,还可 能是一条线段,但 不 会 是 一 个点 ６０２ 【例２】如图８．１Ｇ３(示意图),晚上,小亮在广场上乘凉．图 中线段AB 表示站在广场上的小亮,线段PO 表示直 立在广场上的灯杆,点P 表示照明灯． (１)请你在图中画出小亮在照明灯照射下的影子; (２)如果灯杆高PO＝１２m,小亮的身高AB＝１．６m, 小亮与灯杆的距离BO＝１３m,请求出小亮影子的 长度． 图８．１Ｇ３ 　　　　 图８．１Ｇ４ 解:(１)如图８．１Ｇ４(示意图),连接PA 并延长与OB 所 在直线交于点C,线段BC 就是小亮在照明灯照射下 的影子． (２)在△CAB 和△CPO 中, 因为∠C＝∠C,∠ABC＝∠POC＝９０°, 所以△CAB∽△CPO,所以 AB PO＝ BC CO． 所以１．６ １２＝ BC １３＋BC ,解得BC＝２m, 所以小亮影子的长度为２m． (２)等长的物体平行于地面 放置时(如图８．１Ｇ２所示), 在灯光下,离点光源越近, 影子越长;离点光源越远, 影子越短,但不会比物体本 身的长度短． 图８．１Ｇ２ 题型一　中心投影作图 【例１】如图８．１Ｇ５,三人在路灯下行走,请根据王明与张 强在灯光下的影子确定图中路灯灯泡的位置,并作出 赵老师在灯光下的影子． 图８．１Ｇ５ １．如图８．１Ｇ７,路灯下一高 墙(用线段 AB 表示)的 影子是BC,小军(用线段 DE 表示)的影子是EF, 在 M 处有一棵大树,它 的影子是 MN． (１)在图中确定路灯灯泡 的位置(用点P 表示); ７０２ (２)在图中画出表示大树 的线段． 图８．１Ｇ７ ２．(北京中考)如图８．１Ｇ１０ (示意图),小军、小珠之 间的距离为２．７m,他们 在同一盏路灯下的影长 分别为