5.7 二次函数的应用-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

５．７　二次函数的应用 综合与实践　实际问题与分段函数模型　 'F a 的符号决定抛物线的开 口方向,当a＞０时,开口 向上,顶点为最低点,函数 有最 小 值;当a＜０时,开 口向下,顶点为最高点,函 数有最大值．  已 知 自 变 量 取 值 范 围 是 x１≤x≤x２(x１＜x２)． (１)若－ b ２a 在自变量的取 值范围内,则当x＝－ b ２a 时,y＝ ４ac－b２ ４a 是其中的 一个最值,另一个最值在 x＝x１或x＝x２处取得; (２)若－ b ２a 不在自变量的 取值范围内,则函数的最 值即 为 函 数 在 x＝x１ 或 x＝x２ 时 的 函 数 值,且 较 大的为最大值,较小的为 最小值,最大值和最小值 都存在． 知识点一　二次函数的最大值或最小值 【例１】求二次函数y＝(－２x＋７)(x＋１)的最大值或最 小值． 解:y＝(－２x＋７)(x＋１)＝－２x２＋５x＋７． 方法１(配方法):y＝－２x２＋５x＋７ ＝－２x２－ ５ ２x＋ ( ５ ４) ２ － ( ５ ４) ２é ë ê ê ù û ú ú＋７ ＝－２ (x－ ５ ４) ２ － ２５ １６ é ë ê ê ù û ú ú＋７ ＝－２ (x－ ５ ４) ２ ＋ ２５ ８＋７ ＝－２(x－ ５ ４) ２ ＋ ８１ ８． 因为a＝－２＜０,所以其图象开口向下,所以y 有最大 值,无最小值．当x＝ ５ ４ 时,y 的最大值是 ８１ ８． 方法２(公式法):因为a＝－２,b＝５,c＝７, 所以－ b ２a＝－ ５ ２×(－２)＝ ５ ４ , ４ac－b２ ４a ＝ ４×(－２)×７－５２ ４×(－２) ＝ ８１ ８． 因为a＝－２＜０,所以其图象开口向下,所以y 有最大 ６８ 　值,无最小值．当x＝ ５ ４ 时,y 的最大值是 ８１ ８． 4 运用转化法求二次函数的最值 　　求二次函数的最值问题一般转化为求二次函数 的顶点坐标,先把二次函数的表达式化为一般式,再 运用配方法或公式法可确定二次函数的顶点坐标,然 后结合a 的符号来判断开口方向,进而确定函数是有 最大值还是有最小值． 知识点二　利用二次函数解决实际 问题中的最值问题 【例２】如图５．７Ｇ１,用长为１８m 的篱笆(虚线部分),两 面靠墙(墙边足够长)围成矩形的苗圃． (１)设矩形的一边为x(m),面积为y(m２),求y 关于 x 的函数表达式,并写出自变量x 的取值范围; (２)当x 为何值时,所围苗圃的面积最大,最大面积是 多少? 图５．７Ｇ１ 解:(１)由已知,矩形的另一边长为(１８－x)m． 则y＝x(１８－x)＝－x２＋１８x(０＜x＜１８)． (２)因为y＝－x２＋１８x＝－(x－９)２＋８１, 所以当x＝９时(０＜x＜１８),所围苗圃的面积最大, 最大面积是８１m２． 'F 确定实际问题中的最值时, 要注意自变量的取值范围, 若顶点在取值范围内,则根 据顶点确定最值;若顶点不 在取值范围内,则需根据函 数的增减性确定最值． ７８ 'F 建立恰当的平面直角坐标 系,必 须 遵 循 以 下 两 个 原则: (１)所建立的平面直角坐 标系要使求出的二次函数 的表达式较简单; (２)建立平面直角坐标系 后,设出适当的函数表达 式,由已知点所在的位置, 利 用 待 定 系 数 法 求 出 表 达式． 建立平面直角坐标系是解 决这类问题的关键,一般 建系时使图形关于坐标轴 对称,这样能使计算较为 简便． 4 几何图形中面积的最值问题的求解策略 　　根据所给几何图形的形状,先用含有自变量x 的 代数式分别表示这个图形的相关量,再根据图形的面 积构造关于自变量x 的二次函数,进而应用二次函数 的图象以及性质求得最值． 知识点三　抛物线型问题 【例３】如图５．７Ｇ２(示意图),跳绳时,绳甩到最高处时的 形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间 距AB 为６m,到地面的距离AO 和BD 均为０．９m,身 高为１．４m 的小丽站在距点O 的水平距离为１m 的点 F 处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E． (１)求该抛物线对应的函数表达式; (２)如果小华站在OD 之间,且离点O 的距离为３m, 当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,请你算出小 华的身高． 　　 图５．７Ｇ２　　　　　　　　　　　图５．７Ｇ３ 解:(１)答案不唯一． 以点O 为原点建立如图５．７Ｇ３(示意图)所示的平面直 角坐标系, 由题意,知A(０,０．９),E(１,１．４),B(６,０．９)． 设此抛物线对应的函数表达式为y＝ax２＋bx＋c． ８８ 则 c＝０．９, a＋b＋c＝１．４, ３６a＋６b＋c＝０．９, ì î í ï ï ï ï 解得 a＝－０．１, b＝０．６, c＝０．９． ì î