5.5 确定二次函数的表达式-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

５．５　确定二次函数的表达式 知识点　用待定系数法求二次函数的表达式 二次函数常见的三种表达式 用待定系数法求二次函数的表达式的方法步骤 【例】根据下列条件求二次函数的表达式． (１)抛物线的顶点为(－１,－３),与y 轴的交点为(０, －５); (２)二次函数的图象经过点(－１,－６),(１,－２)和(２,３)． 解:(１)因为抛物线的顶点为(－１,－３), 所以设其表达式为y＝a(x＋１)２－３． 因为抛物线与y 轴的交点为(０,－５), 所以－５＝a－３．所以a＝－２． 所以抛物线的表达式为y＝－２(x＋１)２－３, 即y＝－２x２－４x－５． (２)设二次函数的表达式为y＝ax２＋bx＋c． 'F (１)与一次函数、反比例函 数类似,此处求二次函数表 达式的方法也是待定系数 法,通常表达式中有几个未 知系数,就需要选取几个条 件来求出表达式． (２)一般来说求得的表达式 要整理成一般形式．  特殊位置抛物线的表达式 (１)当抛物线的顶点在原点 时,抛 物 线 的 表 达 式 为 y＝ax２． (２)当抛物线关于y 轴对称 (顶点在y 轴上)时,b＝０,抛 物线的表达式为y＝ax２＋c． (３)当抛物线经过原点时,抛 物线的表达式为y＝ax２＋ bx． ３６ (４)当抛物线顶点在x 轴 上时,抛物线的表达式为 y＝a(x－h)２． 因为二次函数的图象经过点(－１,－６),(１,－２)和(２, ３), 所以 a－b＋c＝－６, a＋b＋c＝－２, ４a＋２b＋c＝３． ì î í ï ï ï ï 解得 a＝１, b＝２, c＝－５． ì î í ï ï ï ï 所以二次函数的表达式为y＝x２＋２x－５． １．一个二次函数的图象经 过 A(０,０),B (－ １, －１１),C(１,９)三点,则 这个二次函数的表达式 是　 (　　) A．y＝－１０x２＋x B．y＝－１０x２＋１９x C．y＝１０x２＋x D．y＝－x２＋１０x ２．(一题多解)已知一条抛 物线与x 轴两交点的横 坐标分别是１,５,与y 轴 交点的纵坐标是－５,试 确定这条抛物线对应的 函数表达式． 题型一　灵活选择二次函数的形式求表达式 【例１】已知当x＝４时,二次函数有最小值－３,且它的图 象与x 轴一个交点的横坐标为７,求此二次函数的表 达式． 审题关键:先把已知条件转化为图象上的关键点或确 定图象上有关点的坐标,再选择相应的函数表达式 求解． 图５．５Ｇ１ 破题思路:由当x＝４时,二次 函数有最小值－３,得顶点坐 标为(４,－３),对称轴为过点 (４,－３)且平行于y 轴的直 线,抛物线的开口向上．又知 抛物线与x 轴的一个交点的 横坐标为７,即抛物线经过点(７,０)．根据它的对称 性,得图象与x 轴另一个交点的坐标为(１,０),可以 画出抛物线的草图(如图５．５Ｇ１所示)．由获得的信 息,知选用二次函数表达式的三种形式都可以求解． 解:方法１:由题意,得抛物线的顶点坐标为(４,－３),可 设二次函数的表达式为y＝a(x－４)２－３．又因为抛 物线经过点(７,０),所以０＝a(７－４)２－３,解得a＝ １ ３． 所以此二次函数的表达式为y＝ １ ３ (x－４)２－３, 即y＝ １ ３x ２－ ８ ３x＋ ７ ３． ４６ 方法２:由题意,得抛物线的顶点坐标为(４,－３),抛 物线的对称轴是过点(４,－３)且平行于y 轴的直 线,抛物线与x 轴的一个交点为(７,０),由对称性, 知抛物线与x 轴的另一个交点为(１,０)．设二次函 数 的 表 达 式 为 y＝ ax２ ＋ bx ＋ c, 则 １６a＋４b＋c＝－３, ４９a＋７b＋c＝０, a＋b＋c＝０, ì î í ï ï ï ï 解得 a＝ １ ３ , b＝－ ８ ３ , c＝ ７ ３． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 所以此二次函数的表达式为y＝ １ ３x ２－ ８ ３x＋ ７ ３． 方法３:设二次函数的表达式为y＝ax２＋bx＋c,由 于当x＝４时,二次函数有最小值－３,且抛物线经过 点(７,０),因此有 － b ２a＝４ , ４ac－b２ ４a ＝－３ , ４９a＋７b＋c＝０, ì î í ï ï ïï ï ï ï 解得 a＝ １ ３ , b＝－ ８ ３ , c＝ ７ ３． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 所以此二次函数的表达式为y＝ １ ３x ２－ ８ ３x＋ ７ ３． 方法４:由题意,得抛物线的顶点坐标为(４,－３),抛 物线的对称轴是过点(４,－３)且平行于y 轴的直 线,抛物线与x 轴的一个交点为(７,０),由对称性, 知抛物线与x 轴的另一个交点为(１,０)．因此可设 二次函数的表达式为y＝a(x－７)(x－１),将顶点 坐标(４,－３)代入,得－