5.4 二次函数的图象和性质-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

５．４　二次函数的图象和性质 'F 二次函数的图象必须用描 点法画出,在画函数图象 时,要注意以下四点: (１)列表时,自变量的取值 应注意统筹兼顾,既要使 自变量的取值有一定的代 表性,又不至于使自变量 所对应的函数值太大或太 小,以便于描点和全面反 映图象的情况． (２)因为抛物线是轴对称 图形,所以作图选点时,一 般应先找出对称轴,再把 自变量向两侧对称取值, 以保证抛物线的对称性、 美观性． (３)一般情况下,描出的点 越多,图象越精细．而在日 常学习中,为了快速准确 地作出抛物线的图象,往 往采用“五点法”,即找出 顶点,以顶点为中心在左、 右两侧取两组对称的点． (４)在同一直角坐标系内 画多个图象时,要在恰当 的位置标明函数表达式． 知识点一　二次函数y＝ax２ 的图象的画法 图象的画法 图象的形状及顶点 二次函数y＝ax２ 的图象是抛物线,它的对称轴是y 轴．抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 【例１】在同一平面直角坐标系中画出函数y＝３x２,y＝ １ ４x ２,y＝４x２ 的图象,并比较这些图象的相同点和不 同点． 解:列表: 图５．４Ｇ１ x 􀆺 －２ －１ ０ １ ２ 􀆺 y＝３x２ 􀆺 １２ ３ ０ ３ １２ 􀆺 y＝ １ ４x ２ 􀆺 １ １４ ０ １ ４ １ 􀆺 y＝４x２ 􀆺 １６ ４ ０ ４ １６ 􀆺 描点、连线,得图象如图５．４Ｇ１． 相同点:①三个函数的图象都是抛物 线;②三条抛物线的顶点相同,其坐标都是(０,０);③三 条抛物线的对称轴相同,都为y 轴;④三条抛物线的开 口方向相同,开口方向都向上． 不同点:三条抛物线的开口大小不同． ４４ 4 连线有方法,形状有特点 　　连线时,必须按照自变量由小到大(或由大到小) 的顺序用平滑的曲线依次连接,切忌用线段连接或漏 点、跨点连接．二次函数y＝ax２的图象是平滑的抛物 线,向开口方向无限延伸,顶点处切不可画成尖形的． 知识点二　二次函数y＝ax２ 的图象与性质 函数 a 的 取值 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 增减性 y＝ax２ (a≠０) a＞０ 向上 (０,０)y 轴 当x＞０时,y 随x 的增大 而 增 大;当 x＜０时,y 随x 的 增大而减小 a＜０ 向下 (０,０)y 轴 当x＞０时,y 随x 的增大 而 减 小;当 x＜０时,y 随x 的 增大而增大 【例２】已知抛物线y＝ax２ 经过点(２,－１２)． (１)求a 的值,并判断抛物线的开口方向、对称轴、顶 点坐标及函数值的变化情况; (２)判断点(－１,－４)是否在此抛物线上． 解:(１)将点(２,－１２)的坐标代入y＝ax２,得－１２＝４a, 所以a＝－３． 因为a＝－３＜０,所以抛物线的开口向下．抛物线y＝ －３x２ 的对称轴为y 轴,顶点坐标为(０,０)．当x＞０ 时,y 随x 的增大而减小;当x＜０时,y 随x 的增大 而增大． (２)当x＝－１时,y＝－３,所以点(－１,－４)不在此抛 物线上． 'F (１)a 对二次 函 数y＝ax２ 的图象的影响: ①当a＞０时,开口向上,顶 点是最低点,在顶点位置取 得函数的最小值;当a＜０ 时,开口向下,顶点是最高 点,在顶点位置取得函数的 最大值． ②|a|的大小决定抛物线的 开口大小,|a|越大,开口越 小;|a|越小,开口越大． (２)由于函数y＝ax２只有 一个待定系数a,故要确定 抛物线y＝ax２对应的函数 表达式,只需知道一对x,y 的值或图象上一点的坐标, 代入 y＝ax２ 即 可 求 得 a 的值． (３)顶点坐标为(０,０)的二 次函数表达式的形式为y＝ ax２(a≠０)． ５４ 上下平移,上加下减 'F (１)抛物线y＝ax２到y＝ ax２＋c 的平移由c 决定, 其中c的符号决定抛物线 是向上还是向下平移,|c| 决定抛物线平移的距离, 平移规律可简记为“上下 平移,上加下减”． (２)a 决定抛物线的开口 方向和大小,故二次函数 y＝ax２和y＝ax２＋c(c≠ ０)的图象开口方向和开口 大小相同,只是位置不同． (３)二次函数y＝ax２＋c 的增减性可简记为“开口 向上,左 减 右 增;开 口 向 下,左增右减”． 4 巧借图形,妙解y＝ax２的性质问题 　　当确定a 的值后,抛物线y＝ax２对应的函数表 达式也就确定了,随之相应的性质也已经确定．如果记 不准这么多有关性质的结论,可画个草图,通过数形 结合,能帮你快速准确地找到问题的答案． 知识点三　二次函数y＝ax２＋c的图象与性质 抛物线y＝ax２＋c与y＝ax２之间的关系 二次函数y＝ax２＋c的图象与二次函数y＝ax２的图象 形状相同,将抛物线y＝ax２沿y 轴向上或向下平移|c| 个单位长度便