5.3 二次函数-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

５．３　二次函数 'F (１)二 次 函 数 y＝ax２ ＋ bx＋c(a≠０)中,x,y 是 变量,a,b,c是常量．b和c 可以是任意实数,但a 必 须是 不 等 于 ０ 的 实 数．因 为 a＝０ 时,y ＝ax２ ＋ bx＋c就是y＝bx＋c,若 b≠０,该函数是一次函数; 若b＝０,则函数y＝c 是 一个常值函数． (２)二次函数的二次项系 数、一次项系数和常数项 包括它们前面的符号,不 要漏掉． (３)任何一个二次函数的 表达 式 都 可 以 化 成 y＝ ax２＋bx＋c(a≠０)的 一 般形式． 知识点一　二次函数的相关概念与表达式 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:二 次 函 数 的 表 达 式 必 须 满 足 的 三 个 条 件 如下: (１)函数表达式必须是关于自变量的整式; (２)自变量的最高次数必须是２; (３)二次项系数不为０． 【例１】下列y 关于x 的函数表达式: ①y＝ ３x２＋２x＋５;②y＝－５＋８x－x２; ③y＝(３x＋２)(４x－３)－１２x２;④y＝mx２＋x; ⑤y＝bx２＋１(b≠０);⑥y＝x２＋kx＋２０． 其中,一定是二次函数的有 (　　) A．３个　　　B．４个　　　C．５个　　　D．６个 解析:因为y＝(３x＋２)(４x－３)－１２x２＝－x－６,所以 ③是y 关于x 的一次函数．对于y＝mx２＋x,当m＝０ 时,y＝x,所以当m＝０时,④是y 关于x 的一次函数． 因此,其中一定属于二次函数的有①②⑤⑥,共４个函 数表达式,故选B． 答案:B ６３ 4 判断是否为二次函数的三步骤 　　 知识点二　建立实际问题中的二次函数表达式 【例２】如图５．３Ｇ１,有长２４m 的篱笆,一面利用墙(墙的 最大可用长度为１０m)围成中间隔有一道篱笆的长 方形花圃．设花圃垂直于墙的一边AB 长为x m,面积 为y m２．求y 与x 之间的函数表达式,并写出自变量 的取值范围． 解:因为花圃垂直于墙的一边AB 长为x m, 所以花圃的另一边长为(２４－３x)m． 所以y＝x(２４－３x)＝－３x２＋２４x． 又因为２４－３x＞０,２４－３x≤１０,所以 １４ ３≤x＜８． 所以y与x之间的函数表达式为y＝－３x２＋２４x( １４ ３≤ x＜８) ． 4 抓住等量关系列函数表达式 　　列函数表达式的关键是先正确地找出等量关系, 再根据等量关系列等式,即函数表达式,最后将函数 表达式化成一般形式． 'F 二次函数自变量的取值范 围一般是全体实数,但是在 实际问题中,自变量的取值 范围应使实际问题有意义． 图５．３Ｇ１ ７３ １．已 知 函 数 y ＝ (m ＋ ２)xm ２－２＋mx 是关于x 的二次函数,求m 的值, 并写 出 它 的 二 次 项 系 数、一 次 项 系 数 和 常 数项． ２．某水果批发商销售每箱 进价为４０元的水果,物 价部门规定每箱水果的 售价不得高于５５元,经 市场调查发现,每箱以 ５０元的价格销售,平均 每天销售９０箱,价格每 提高(或降低)１元,平均 每天少(或多)销售３箱． 题型一　利用二次函数的概念求字母的值 【例１】已知y＝(m２－３m)xm ２－２m－１＋(m－３)x＋m２ 是关 于x 的二次函数,求其表达式． 审题关键:求得 m 的值即可确定函数表达式,根据二 次函数最高项的次数与系数的限制条件来求值． 破题思路:根据二次函数的概念,知自变量x 的最高次 数为２,且二次项系数不为０,从而可以得到关于m 的方程与不等式,解答即可． 解:根据题意,得m２－２m－１＝２, 所以m２－２m－３＝０,解得m１＝３,m２＝－１． 又因为m２－３m≠０,所以m≠０,且m≠３, 所以m＝－１． 所以二次函数的表达式为y＝４x２－４x＋１． " 次数、系数双限制,轻松求得字母的值 这类由函数的定义求字母的取值问题,往往都 需要根据最高项的次数和系数的限定条件来判断, 一般都需要同时建立方程和不等式来确定． 题型二　列二次函数表达式 根据实际问题中的数量关系列函数表达式 【例２】某汽车城销售某型号的汽车,每辆进货价为２６万 元,市场调研表明:当销售价为３０万元时,平均每周能 售出