5.2 反比例函数-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

５．２　反比例函数 知识点一　反比例函数 反比例函数满足的三个条件 (１)有两个变量y 与x,其中x 是自变量; (２)有比例系数k(k是常数,k≠０); (３)变量x,y 满足关系y＝ k x (k是常数,k≠０)． 反比例函数的表达式的三种形式 (１)y＝ k x (k是常数,k≠０); (２)y＝kx－１(k是常数,k≠０); (３)xy＝k(k是常数,k≠０)． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:(１)在反比例函数的表达式中,x,y,k 均不 为０; (２)在实际问题中,除自变量x 不为０外,还应根 据具体情况来确定x,y 的取值范围． 【例１】用函数表达式表示下列问题中变量间的对应关 系,并判断函数的类型．若是反比例函数,试确定比例 系数k的值． (１)一辆汽车的行驶速度为６０km/h,汽车的行驶路 程s(km)随行驶时间t(h)的变化而变化; (２)某种灯泡的使用寿命为１０００h,它可使用的天数 y 随平均每天使用的小时数x 的变化而变化; (３)质量为３kg的二氧化碳,它的体积V(m３)随密度 ρ(kg/m３)的变化而变化． 解:(１)s＝６０t,该函数是正比例函数． (２)y＝ １０００ x ,该函数是反比例函数,k＝１０００． 'F (１)成反比例关系的两个量 可以是一个字母,也可以是 单项式或多项式． (２)成反比例关系的不一定 是反比例函数,但反比例函 数中的两个变量必成反比 例关系． (３)成反比例关系或反比例 函 数 的 两 个 量 的 积 均 为 定值． ５１ 在 反 比 例 函 数 的 表 达 式 中,x,y,k 均不为０． 'F 一个“未知系数”一组“值” 因为反比例函数的表达式 中只有 一 个 待 定 系 数k, 所以只需两个变量的一组 对应值即可求出k 的值, 从而确定其函数表达式． (３)V＝ ３ ρ ,该函数是反比例函数,k＝３． 4 　　列出的函数表达式若能够化成y＝ k x (k≠０)或 y＝kx－１(k≠０)或xy＝k(k≠０)的形式,则该函数就 是反比例函数． 知识点二　确定反比例函数的表达式 　　 待定系数法 解题步骤 　　　 【例２】已知y 是x 的反 比例函数,且当x＝０．３ 时,y＝１０．求该函数的 表达式． 设 → 设反比例函数的 表 达 式 的 一 般 形式 解:设该函数的表达式为 y＝ k x (k≠０) 代 → 把已知条件代入 把x＝０．３,y＝１０代入表 达式,得１０＝ k ０．３ 解 → 解方程求出待定 系数 解得k＝３ 答 → 将求得的待定系 数代回所设的函 数表达式 所以 该 函 数 的 表 达 式 为 y＝ ３ x 4 “解剖”待定系数法 　　待定系数法是确定函数表达式的重要方法,其解 法有相通之处:先根据函数类型设出相应的函数表达 式,通常函数的表达式中有几个未知系数就找几组自 变量和函数的对应值,再把相应变量之间的对应值代 入,列出关于待定系数的方程(组),最后解所得方程 (组),求得待定系数,从而确定函数的表达式,问题获解． ６１ 知识点三　反比例函数图象的画法与特征 反比例函数图象的画法 反比例函数图象的特征 形状 由两个分支组成的曲线(双曲线) 位置 当k＞０时,图象在第一、三象限 当k＜０时,图象在第二、四象限 对称性 (１)关于直角坐标系的原点成中心对称; (２)关于第一、三象限的角平分线所在的直线或 第二、四象限的角平分线所在的直线成轴对称 【例３】已知反比例函数y＝ ２k－１ x 的图象的一支在第三 象限． (１)试确定k的取值范围; (２)如图５．２Ｇ１所示,若图象过点A(－６,－２),求k 的值,写出这个反比例函数的表达式,并补画这个反 比例函数图象的另一支． 图５．２Ｇ１ 'F (１)用描点法可画出反比例 函数的图象． (２)由于在反比例函数y＝ k x (k≠０)中,自变量x 和函 数y 的 值 都 不 为 ０,因 此, 其图象与两坐标轴没有交 点,但可以无限接近x 轴和 y 轴． ７１ 解:(１)因为反比例函数y＝ ２k－１ x 的图象的一支在第三 象限,所以图象上的点的横坐标与纵坐标的符号相同, 所以２k－１＝xy＞０,解得k＞ １ ２． (２)把(－６,－２)代入