4.5 一元二次方程根的判别式-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

数学　九年级　上册 ２０４　 ４．５　一元二次方程根的判别式   > M (１)运用根的判别式 时,必须将方程化为一般 形式． (２)方程有两个实数 根时,Δ≥０． (３)无法确定方程是 否为一元二次方程时,应 分类讨论． 知识点 　 一元二次方程根的判别式 【例】不解方程,判断下列方程根的情况: (１)３x２＋x－１＝０; (２)x２＋４＝４x; (３)２x２＋６＝３x． 解 (１)这里a＝３,b＝１,c＝－１． 因为Δ＝１２－４×３×(－１)＝１３＞０, 所以方程有两个不相等的实根． (２)原方程可化为x２－４x＋４＝０． 这里a＝１,b＝－４,c＝４． 因为Δ＝(－４)２－４×１×４＝０, 所以原方程有两个相等的实根． (３)原方程可化为２x２－３x＋６＝０． 这里a＝２,b＝－３,c＝６． 因为Δ＝(－３)２－４×２×６＝－３９＜０, 所以原方程没有实根． 　　用根的判别式判断一元二次方程根的情况时,关 键是确定“Δ”的符号,非一般形式的一元二次方程要 先整理、化简成一般形式后再判断． 第４章　一元二次方程 ２０５　 常考题型解读 题型一　利用根的判别式判断方程根的情况 判断已知方程根的情况 【例１】一元二次方程x２＋２x＋１＝０的根的情况 (　　) A．有一个实根　　　　　　　B．有两个相等的实根 C．有两个不相等的实根 D．没有实根 思路分析 利用一元二次方程根的判别式判断根的情况 的关键是确定 Δ＝b２－４ac的符号． 解析 这里a＝１,b＝２,c＝１, 所以 Δ＝b２－４ac＝２２－４×１×１＝０, 所以此一元二次方程有两个相等的实根． 答案 B 判断含字母参数方程根的情况 【例２】已知关于x 的方程x２－(２m＋１)x＋m(m＋ １)＝０． (１)求证:方程总有两个不相等的实根; (２)已知方程的一个根为x＝０,求代数式(２m － １)２＋(３＋m)(３－m)＋７m－５的值(要求先化简再 求值)． 思路分析 (１)找出a,b,c,表示出根的判别式,变形后 得到其值大于０,即可得证．(２)把x＝０代入方程即 可求得m 的值,然后化简代数式,将 m 的值代入所 求的代数式并求值即可． (１)证明 因为关于x 的一元二次方程为x２－(２m＋ １)x＋m(m＋１)＝０, 所以Δ＝[－(２m＋１)]２－４m(m＋１)＝１＞０, 所以方程总有两个不相等的实根． (２)解 因为x＝０是此方程的一个根, 所以把x＝０代入方程,得m(m＋１)＝０, 所以m＝０或m＝－１． １．一元二次方程x２－x－１＝ ０的根的情况为 (　　) A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．只有一个实根 D．没有实根 ２．下列一元二次方程没有实 根的是 (　　) A．x２＋２x＋１＝０ B．x２＋x＋２＝０ C．x２－１＝０ D．x２－２x－１＝０ ３．已 知 关 于 x 的 方 程x２ ＋ mx＋m－２＝０． (１)若此方程的一个根为１, 求m 的值; (２)求证:不论m 取何实数, 此方程都有两个不相等的 实根． 数学　九年级　上册 ２０６　 ４．已知关于x 的一元二次方 程x２＋２x＋２k－４＝０有两 个不相等的实根． (１)求k的取值范围; (２)若k 为正整数,且该方 程的根都是整数,求k的值． 因为(２m－１)２＋(３＋m)(３－m)＋７m－５＝４m２－ ４m＋１＋９－m２＋７m－５＝３m２＋３m＋５, 所以把m＝０代入３m２＋３m＋５,得３m２＋３m＋５＝５; 把m＝－１代入３m２＋３m＋５,得３m２＋３m＋５＝３× １－３＋５＝５． 综上所述,代数式(２m－１)２＋(３＋m)(３－m)＋ ７m－５的值为５． 4 利用根的判别式证明一元二次方程有实根的技巧 　　在利用根的判别式证明一元二次方程有实根时, 首先表示出判别式,并将判别式配方,然后利用配方 的结果判断根的判别式与０的大小关系,最后得证． 题型二　确定一元二次方程中的字母参数的值或范围 【例３】关于x 的一元二次方程２x２＋３x－m＝０有两 个不相等的实根． (１)求m 的取值范围; (２)写出一个满足条件的m 的值,并求出方程的根． 思路分析 (１) (２) 解 (１)因为关于x 的一元二次方程有两个不相等的 实根, 所以Δ＝３２－４×２×(－m)＝９＋８m＞０, 解得m＞－ ９ ８． 即m 的取值范围为m＞－ ９ ８． (２)取m＝２,此时原方程为２x２＋３x－２＝０, 即(２x－１)(x＋２)＝０,解得x１＝ １ ２ ,x２＝－２． 4 　　根据含字母参数的一元二次方程根的情况,可确 定根的判别式的符号,得到一个方程或不等式,从而 确定字母参数的值或取值范围． 第４章　一元二次方程 ２０７　 题型三　根的判别式与三角形知识的结合 【例４】已知