3.7 正多边形与圆-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

第３章　对圆的进一步认识 １６５　 ３．７　正多边形与圆 知识点一　正多边形的有关性质 　(１)正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形有n 条 对称轴． (２)正多边形的各条对称轴相交于一点,这点到正多 边形的各个顶点的距离相等,到各边的距离也相等． (３)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这 两个圆是同心圆,圆心是各对称轴的交点． 【例１】如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆,那 么这个四边形一定是 (　　) A．矩形　　　　　　　　B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 解析 综合各选项可知,只有正方形的外接圆与内切 圆是同心圆． 答案 C 知识点二　正多边形的有关概念和计算 １．正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念 图３．７Ｇ１ 正多边形的中心:正多边形的外接 圆和内切圆的公共圆心．如图３．７Ｇ１, 点O 是正六边形ABCDEF 的中心． 正多边形的半径:正多边形的外 接圆的半径．如图３．７Ｇ１,OA 是正 六边形ABCDEF 的半径． 正多边形的边心距:正多边形的 内切圆的半径．如图３．７Ｇ１,OP 是正六边形ABCDEF 的边心距． 正多边形的中心角:正多边形每一边所对的外接圆的 圆心角．如图３．７Ｇ１,∠AOB 是正六边形ABCDEF 的 中心角． M  > M (１)“各边相等,各角 相等”是正多边形的两个 基 本 特 征,二 者 缺 一 不 可,否 则 就 不 是 正 多 边 形,如菱形和矩形都不是 正多边形． (２)边数为偶数的正 多边形既是轴对称图形, 又是中心对称图形,它的 中心就是对称中心． (３)边数为奇数的正 多边 形,是 轴 对 称 图 形, 但不是中心对称图形． 数学　九年级　上册 １６６　 (１)在解决正n 边形的有 关计算时,通过作正n 边形的 半径和边心距,把正n 边形分 成２n 个直角三角 形,再 利 用 勾股定理即可完成计算． 如图３．７Ｇ４,在 Rt△OAM 中,OA２ ＝OM２ ＋ AM２,即 R２＝r２＋ ( a ２ ) ２ ． 图３．７Ｇ４ (２)正六边形和正方形中 的计算,往往连接相邻两条半 径使其 与 边 分 别 构 成 等 边 三 角形和等腰直角三角形． ２．正多边形的有关计算公式 名称 公式 内角 正n 边形的每个内角都等于 (n－２)􀅰１８０° n 中心角 正n 边形的每个中心角都等于 ３６０° n 外角 正n 边形的每个外角都等于 ３６０° n 边心距 正n 边形的边心距r＝ R２－ ( an ２ ) ２ (R 是半径, an 是边长) 周长 正n 边形的周长l＝nan(an 是边长) 面积 正n 边形的面积S＝ １ ２pr (p 是正n 边形的周长, r是正n 边形的边心距) 图３．７Ｇ２ 【例２】如图３．７Ｇ２,☉O 是一个正多边形的 外接圆,该正多边形的半径为 ２,边心距 为１,求这个正多边形的中心角、边长、内 角、周长和面积． 解 如图３．７Ｇ３所示,连接OB． 由题意,可知OA＝ ２,OM⊥AB,且OM＝１． 图３．７Ｇ３ 在Rt△AOM 中,AM＝ OA２－OM２＝１, 所以AB＝２,AM＝OM, 所以△AMO 是等腰直角三角形, 所以∠AOM＝４５°, 所以∠AOB＝２∠AOM＝９０°． 设该正多边形的边数为n． 因为 ３６０° n ＝９０° ,所以n＝４． 所以该正多边形是正方形． 所以正方形的周长为２×４＝８,正方形的面积为２× ２＝４． 所以正方形的中心角为９０°,内角为９０°,边长为２,周 长为８,面积为４． 第３章　对圆的进一步认识 １６７　 知识点三　正多边形的画法 　要作半径为R 的正n 边形,只要先把半径为R 的圆 周n 等分,再顺次连接各分点即可． 依据 在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等 关键 将圆分成n 等份 方法 用量角 器等分 圆周 在半径为R 的圆中,先用量角 器画一个等于 ３６０° n 的圆心角 ∠A１OA２,再以OA２ 为一边, 点 O 为 顶 点,逆 时 针 作 ∠A２OA３ ＝ ３６０° n ,以 此 类 推, 可 得 ∠A３OA４, 􀆺, ∠An－１OAn,顺次连接点 A１, A２,􀆺,An,A１,从而作出半径 为R 的正n 边形 用尺规 等分 圆周 正 方 形 先画☉O 的任意一条直 径AC,再分别以点A,C 为圆心,大于OC 的长度 为半径画弧,两弧相交于 点E,F,经过点E,F 作 一条直线与☉O 交于点 B,D,顺次连接点A,B, C,D,A,得 正 方 形 ABCD．(若点E,F 恰好 在 ☉O 上,则 正 方 形 AECF 即为所求) 正六 边形 先画☉O 的任意一条直 径AB,再分别以点A,B 为圆 心,☉O 的 半 径 R 为半径画弧,与☉O 相交 于点C,D 和E,F,顺次 连