3.6 弧长及扇形面积的计算-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

数学　九年级　上册 １５６　 ３．６　弧长及扇形面积的计算    > M (１)在弧长公式中,n 表示１°的圆心角的倍数, 在应用公式计算的时候, “n”和“１８０”不写单位． (２)在弧长公式中,l 表示弧的长度,它的单位 与半径r的单位一致． M  > M 知识点一　弧长公式 １．推导 因为３６０°的圆心角所对的弧长就是圆周长２πr(r为 圆的半径),据此可得１°的圆心角所对的弧长是 １ ３６０ 􀅰 ２πr;２°的圆心角所对的弧长是 ２ ３６０ 􀅰２πr;􀆺􀆺;n°的 圆心角所对的弧长为 n ３６０ 􀅰２πr,即 nπr １８０． ２．计算公式 在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公 式为l＝ nπr １８０． 【例１】若扇形的半径为６,圆心角为１２０°,则此扇形的 弧长是　　　　． 解析 根据弧长公式l＝ nπr １８０ ,这里r＝６,n＝１２０, 得l＝ １２０×π×６ １８０ ＝４π． 答案４π 使用弧长公式的两点注意 (１)在弧长公式中,已知l,n,r中任意两个量,可 以求出第三个量． (２)若题目中没有标明精确度,用含π的代数式 表示弧长． 第３章　对圆的进一步认识 １５７　 知识点二　扇形面积公式 １．半径为r,圆心角为n°的扇形的面积 半径为r的圆的面积是πr２,所以圆心角为１°的扇形 的面积为圆的面积的 １ ３６０ ,即πr ２ ３６０． 如果扇形的半径为 r,圆 心 角 为 n°,那 么 扇 形 面 积 的 计 算 公 式 为 S扇形 ＝ nπr２ ３６０． ２．半径为r,弧长为l的扇形的面积   
     因为扇形的弧长l＝ nπr １８０ ,所以S扇形 ＝ nπr２ ３６０＝ nπr １８０ 􀅰 r ２＝ １ ２lr． 因此,如果扇形所对的弧长为l,扇形的半径 为r,那么扇形面积的计算公式为S扇形 ＝ １ ２lr． 【例２】(１)若一个扇形的圆心角为１２０°,半径为３,则这 个扇形的面积为 ; (２)已知扇形的半径为３cm,扇形的弧长为πcm,则 该扇形的面积是 cm２． 解析 (１)S扇形 ＝ nπr２ ３６０＝ １２０π×３２ ３６０ ＝３π． (２)S扇形 ＝ １ ２lr＝ １ ２×３π＝ ３ ２π (cm２)． 答案 (１)３π　(２) ３ ２π   > M (１)与弧长公式类似,公 式中n 表示１°的圆心角的倍 数,它是不带单位的． (２)扇形面积公式可以类 比三角形的面积公式记忆．把 弧长l看成底,r 看成底边上 的高即可． 常考题型解读 题型一　弧长公式的应用 图３．６Ｇ１ 求弧长 【例１】如图３．６Ｇ１,在▱ABCD 中, AB 为 ☉O 的直径,☉O 与DC 相切于点E,与AD 相交于点F, 数学　九年级　上册 １５８　 １．如图３．６Ｇ２,AB 为☉O 的直 径,点 C 在 ☉O 上,若 ∠OCA ＝５０°,AB＝４,则 BC︵的长为 (　　) 图３．６Ｇ２ A． １０ ３π　　　　B． １０ ９π C． ５ ９π D． ５ １８π ２．如图３．６Ｇ３,AB 是半圆的直 径,若AB＝２,∠B＝３０°,则 BC︵的长为 (　　) 图３．６Ｇ３ A． １ ３π B． ２ ３π C．π D． ４ ３π ３．一个扇形的圆心角是６０°, 它所对的弧长为２πcm,则 这个扇形的半径为　 (　　) A．６cm B．１２cm C．２３cm D．６cm ４．已知扇形的圆心角为１２０°, 弧长为１０πcm,则扇形的半 径为　　　　cm． 已知AB＝１２,∠C＝６０°,则FE ︵ 的长为 (　　) A． π ３　　 　B． π ２　 　　C．π　 　　D．２π 思路分析 先求出半径r 和FE ︵ 所对的圆心角的度数,再 由弧长公式l＝ nπr １８０ 求解． 解析 连接OE,OF(图略)． 因为AB 为☉O 的直径,AB＝１２, 所以AO＝OB＝６． 因为☉O 与DC 相切于点E, 所以∠OEC＝９０°． 在▱ABCD 中,AB∥DC,∠A＝∠C＝６０°, 所以∠AOE＝∠OEC＝９０°． 在△AOF 中,∠A＝６０°,AO＝FO, 所以△AOF 是等边三角形,即∠AOF＝６０°, 所以∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝９０°－６０°＝３０°． 所以FE ︵ 的长为 ３０π×６ １８０ ＝π． 答案 C 4 　　熟记弧长公式l＝ nπr １８０ 是求弧长的基础,在已知 半径的条件下,设法求出弧所对的圆心角的度数是 关键． 求半径 【例２】已知扇形的圆心角为１２０°,弧长为２π,则它的半 径为　　　　． 解析 设扇形所在圆的半径为r,根据弧长的计算公式, 得 １２０πr １８０ ＝２π． 解得r＝３． 答案３ 第３章　对