3.4 直线与圆的位置关系-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

数学　九年级　上册 １３４　 ３．４　直线与圆的位置关系  M  > M   > M (１)根据d 与r 的大 小关 系 可 以 确 定 直 线 与 圆的 位 置 关 系,同 样,根 据直 线 与 圆 的 位 置 关 系 可以确定d 与r 的 大 小 关系． (２)判断直线与圆的 位置关系的两种方法: ①用 比 较 圆 心 到 直 线的 距 离 与 半 径 的 大 小 来判断(常用)． ②用直线与圆的交点 的个数来判断(不常用)． M  > M M  > M 知识点一　直线与圆的位置关系 １．直线与圆的三种位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 O l 公共点的个数 ２ １ ０ 公共点的名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 ２．直线与圆的位置关系的判定 　 ①　　　　 　②　　　　　③ 图３．４Ｇ１ 如图３．４Ｇ１,设☉O 的半径为r,圆心O 到直线l的距 离为d． (１)如图３．４Ｇ１①,直线l与☉O 相交⇔d＜r． qr
 (２)如图３．４Ｇ１②,直线l与☉O 相切⇔d＝r． (３)如图３．４Ｇ１③,直线l与☉O 相离⇔d＞r． 【例１】已知Rt△ABC 的斜边AB＝６cm,直角边AC＝ ３cm．以点C 为圆心, ３３ ２ cm 长为半径的圆和 AB 的位置关系是 ;以点B 为圆心,３cm 长为半 径的圆和 AC 的位置关系是 ;如果以点 A 为圆心的圆和BC 相切,那么半径长为 ． 解析 由勾股定理,知BC＝ AB２－AC２ ＝ ６２－３２ ＝ ３３(cm),　　 第３章　对圆的进一步认识 １３５　 所以Rt△ABC 斜边AB 上的高是 ３×３３ ６ ＝ ３３ ２ (cm)． 所以以点C 为圆心, ３３ ２ cm 长为半径的圆和 AB 相切． 因为３＜３３,所以以点B 为圆心,３cm 长为半径的 圆和AC 相离．当以点A 为圆心的圆与BC 相切时, 半径长为３cm． 答案 相切　相离　３cm 判定直线与圆的位置关系的步骤 第１步:求圆心到直线的距离; 第２步:比较圆心到直线的距离与半径的大小; 第３步:由大小关系作出判断． 知识点二　切线的判定定理 图３．４Ｇ２ １．切线的判定定理 过半径的外端并且垂直于半径的直线是 圆的切线．如图３．４Ｇ２所示,已知OA 为 ☉O 的半径,直线l经过点A,且OA⊥l 于点A,则直线l是☉O 的切线． ２．其他判定圆的切线的方法 (１)定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (２)数量关系:若圆心到某条直线的距离等于半径,则 这条直线是圆的切线． 图３．４Ｇ３ 【例２】如图３．４Ｇ３,在☉O 中,OA 和 OB 是半径,且OA⊥OB,弦 AC 交 OB 于 点 M,且 ∠DCM ＝ ∠DMC．求证:CD 是☉O 的切线． 证明 连接OC(图略)．因为OA＝OC, 所以∠A＝∠OCA． 因为OA⊥OB,所以∠A＋∠AMO＝９０°． 因为∠DCM＝∠DMC,∠AMO＝∠DMC, 所以∠DCM＝∠AMO, 定理中的两个条件“过半 径的外端”和“垂直于半径”缺 一不 可,否 则 就 不 是 圆 的 切 线．如图３．４Ｇ４,直线l 均不是 ☉O 的切线． ① 　　 ② ③ 图３．４Ｇ４ 判定圆的切线的常用方法 要证明一条直 线 是 圆 的 切线,如果在已知条件中已知 直线和圆有一个公共点,那么 可先连接这个公共点和圆心, 再证明这条半径和直线垂直, 简称“连 半 径,证 垂 直”．当 直 线与圆的公共点不确定时,可 过圆心作直线的垂线,再证圆 心到直线的距离等于半径,简 称“作垂直,证半径”． 数学　九年级　上册 １３６　   > M 切线的性质 (１)切线与圆只有一 个公共点; (２)圆心到切线的距 离等于圆的半径; (３)切线垂直于过切 点的半径; (４)经过圆心且垂直 于切线的直线必过切点; (５)经过切点且垂直 于切线的直线必过圆心．   > M 所以∠OCA＋∠DCM＝９０°,即OC⊥CD． 因为点C 在☉O 上,即OC 是☉O 的半径, 所以CD 是☉O 的切线． 知识点三　切线的性质定理 　圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图３．４Ｇ５所示,因为直线l与☉O 相切于点A,所 以l⊥OA． A O l 图３．４Ｇ５ 【例３】如图３．４Ｇ６,AB 是半圆O 的直径,点P 在AB 的 延长线上,PC 切半圆O 于点C,连接AC．若∠P＝ ２０°,则∠A＝　　　　． 图３．４Ｇ６ 解析 连接OC(图略)．因为PC 切半圆O 于点C, 所以PC⊥OC,即∠PCO＝９０°． 因为∠P＝２０°,所以∠POC＝９０°－∠P＝７０°． 因为OA＝OC, 所以∠A＝∠ACO＝ １ ２∠POC＝３５°． 答案３５°