3.3 圆周角-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

第３章　对圆的进一步认识 １２３　 ３．３　圆周角 知识点一　圆周角 　圆周角的两个特征 图３．３Ｇ１ (１)顶点在圆上;(２)角的两边在圆内的部 分是圆的两条弦． 如图３．３Ｇ１所示,∠ABC,∠ADC 都是 圆周角,而∠AEC 与∠BED 都不是圆 周角,因为它们的顶点E 不在圆上．圆 周角也可以看成两条有公共端点的弦所夹的角． 【例１】下列四个选项中,∠α是圆周角的是 (　　) 　　　 　 A　　　　 　B　 　　 　 　C　　　 　 　D 解析 根据圆周角的顶点在圆上,可排除选项 D;根据 圆周角的两边在圆内的部分是圆的两条弦,可排除选 项 A,B．故选C． 答案 C 知识点二　圆周角定理及其推论１ １．定理:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半． 分类 圆心在圆周角的 一条边上 圆心在圆周 角的内部 圆心在圆周 角的外部 图示 结论 ∠APB＝ １ ２∠AOB ２．推论１:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半． M  > M 圆心角与圆周角的 区别及联系 项目 圆心角 圆周角 区别 顶点在 圆心 顶点在 圆上 在 同 圆 中,一 条 弧所对的 圆心角只 有一个 在 同 圆 中,一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 有 无数个 联系 两边都和圆相交 弧的度数、该弧所对的 圆心角和该弧所对的 圆周角之间的关系 数学　九年级　上册 １２４　 (１)圆周角定理中的圆周 角与圆心角是通过它们所对 的同一条弧联系在一起的,故 不能把“它所对弧上的”去掉． (２)圆周角定理的应用有 两个:①求度数,即角的大小; ②证明角的２倍关系． (１)由等弧可以找等 角,但是由等角找等弧需 要在同圆或等圆中． (２)若将推论２中的 “同弧或等弧”改为“同弦 或等弦”,则结论不成立．因 为同一条弦所对的圆周角 有两种情况:如图３．３Ｇ４, ∠１＝∠３,但∠１≠∠２． 图３．３Ｇ４ 图３．３Ｇ２ 【例２】如图３．３Ｇ２,AB 是☉O 的直径,弦 BC＝BD,若∠BOD＝５０°,求∠A 的 度数．   
   解 连接OC(图略)． 方法１:因为BC＝BD,所以∠BOC＝∠BOD＝５０°, 所以∠A＝ １ ２∠BOC＝ １ ２×５０°＝２５°． 方法２:因为∠BOD＝５０°,所以BD ︵ 的度数为５０°． 又因为BC＝BD,所以BC ︵ ＝BD ︵, 所以BC ︵ 的度数为５０°,所以∠A＝５０°× １ ２＝２５°． 求圆周角度数的两种常用方法 　　在圆中求圆周角的度数,往往转化为求它所对弧 上的圆心角的度数,利用圆周角等于它所对弧上的圆 心角的一半求解或者利用圆周角的度数等于它所对 弧的度数的一半求解． 知识点三　圆周角定理的推论２ 　同弧或等弧上的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等 的圆周角所对的弧相等． 图３．３Ｇ３ 【例３】如图３．３Ｇ３,在☉O 中,D 是AC ︵ 的 中 点,BD,AC 相 交 于 点 E．求 证: △ABD∽△EBC． 证明 因为D 是AC ︵ 的中点, 所以AD ︵ ＝CD ︵ ． 所以∠ABD＝∠DBC． 又因为∠ADB 与∠ACB 是AB ︵ 所对的圆周角, 所以∠ADB＝∠ACB．所以△ABD∽△EBC． 　　在圆中证明两个三角形相似,常借助同弧(或等 弧)所对的圆周角相等找等角,再根据两组角对应相 等的两个三角形相似来证明． 第３章　对圆的进一步认识 １２５　 知识点四　圆周角定理的推论３ 直径所对的圆周角是直角;９０°的圆周角所对的弦是 直径． 【例４】如图３．３Ｇ５,△ABC 为☉O 的内接三角形,AB 为☉O 的 直 径,点 D 在 ☉O 上,若 ∠D ＝５４°,则 ∠BAC 的度数等于　　　　． 图３．３Ｇ５ 解析 因为∠B 与∠D 都是AC ︵ 所对的圆周角, 所以∠B＝∠D＝５４°． 因为AB 为☉O 的直径,所以∠ACB＝９０°, 所以∠BAC＝９０°－∠B＝９０°－５４°＝３６°． 答案３６° 利用圆周角定理的推论求角的度数的两种方法 (１)寻 找 同 弧 所 对 的 圆 周 角 实 现 等 角 之 间 的 转换; (２)寻找直径所对的圆周角,构造直角三角形,运 用直角三角形的性质求解． 知识点五　圆内接多边形及圆周角定理的推论４　 １．圆内接多边形 所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边 形,这个圆叫做这个多边形的外接圆． 图３．３Ｇ６ ２．圆内接四边形 如图３．３Ｇ６,点A,B,C,D 在☉O 上, 四边形ABCD是☉O 的内接四边形, ☉O 是四边形ABCD 的外接圆．   > M 推论３把圆的直径与９０° 的圆周角联系在一起,构造直 径所对的圆周角,这样就为运 用直角三角形的有关性质创 造了条件．   > M 数学