3.1 圆的对称性-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

１０１　 第３章　对圆的进一步认识 - @   - @   M  > M ３．１　圆的对称性 - @   ３．１．１　垂径定理   知识点一　圆的轴对称性 　圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是它的对 称轴． 【例１】下列说法不正确的是 (　　) A．圆是轴对称图形 B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D．经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴 解析 因为对称轴是直线,而圆的直径是线段,所以不 能说“直径是圆的对称轴”,故选项C错误,故选C． 答案 C 直径不是圆的对称轴 　　对圆的“直径”和“对称轴”的正确理解是解决本 题的关键,要牢记:直径是圆中最长的弦,弦是线段, 而对称轴是一条直线． 知识点二　垂径定理 １．垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧． qrc
qr ２．几何语言:如图３．１．１Ｇ１,因为AB 是☉O 的直径,AB⊥ CD 于点E,所以CE＝DE,AC ︵ ＝AD ︵,BC ︵ ＝BD ︵ ． (１)圆有无数条对称 轴,圆是对称轴最多的平 面图形． (２)过圆心的每一条 直线都是圆的对称轴,而 直径是线段,不是圆的对 称轴．   > M 数学　九年级　上册 １０２　 “垂直于弦的直径”的常 见图形如图３．１．１Ｇ３． 　　　　①　 　　 ② E 　 ③　　　　④ 图３．１．１Ｇ３ 垂径定理是证明 线 段 相 等、弧相等的重要方法,同时 也为圆的计算和作图提供了 方法和理论依据． 在垂径定理的运用中,常 涉及弦长a、弦心距d(圆心到 弦的距离)、半径r 这三者之 间的关系．如图３．１．１Ｇ４,它们 的关系为r２＝d２＋ ( a ２ ) ２ ． 图３．１．１Ｇ４ 半径r、弦长a 和弦心距 d 三者之间关系密切,知其二 必能求出第三个． 图３．１．１Ｇ１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:对于一个圆和一条直线,如果具备下列五个 条件中的任意两个,那么一定具备其他三个:①过 圆心;②垂直于弦;③平分弦(非直径);④平分弦所 对的 劣 弧;⑤ 平 分 弦 所 对 的 优 弧．简 记 为 “知 二 推三”． 【例２】如图３．１．１Ｇ２,AB 是☉O 的直径,弦CD⊥AB 于 点E,若OC＝５cm,CD＝６cm,则OE＝　　　cm． 图３．１．１Ｇ２ 解析 因为AB 是☉O 的直径,弦CD⊥AB 于点E, 所以根据垂径定理可得, CE＝ １ ２CD＝３cm． 在 Rt△OCE 中,由勾股定理可得, OE＝ OC２－CE２ ＝ ５２－３２ ＝４(cm)． 答案４ 巧构造,妙解题 　　在运用垂径定理解题的过程中,常过圆心作弦的 垂线或连接半径作为辅助线来构造直角三角形,然后 利用勾股定理来解决问题． 第３章　对圆的进一步认识 １０３　 常考题型解读 题型一　应用垂径定理进行计算 求圆的半径 【例１】如图３．１．１Ｇ５,在☉O 中,弦AB＝６,圆心O 到 AB 的距离OC＝２,则☉O 的半径长为　　　　． 图３．１．１Ｇ５ 思路分析 在 Rt△AOC 中,OC＝２,AC＝ １ ２AB＝３ ,可 由勾股定理求OA 的长． 解析 由 题 意,知 OC⊥AB,所 以 ∠ACO＝９０°,AC＝ BC＝ １ ２AB＝３ , 所以在 Rt△AOC 中,OA＝ AC２＋OC２ ＝ ３２＋２２ ＝ １３． 答案 １３ 求弦长 【例２】如图３．１．１Ｇ７,在☉O 中,直径AB 和弦CD 相交于 点E,已知AE＝１cm,EB＝５cm,且∠DEB＝６０°,求 CD 的长． 图３．１．１Ｇ７ 思路分析 １．如图３．１．１Ｇ６,已知过点 P 的直线AB 交☉O 于A,B 两点,PO 与☉O 交于点C, 且PA＝AB＝６cm,PO＝ １２cm． 图３．１．１Ｇ６ (１)求☉O 的半径; (２)求△PBO 的面积(结果 可带根号)． 数学　九年级　上册 １０４　 ２．如图３．１．１Ｇ９所示,∠A＝ ３０°,在射线AC 上顺次截取 AD＝３cm,DB＝１０cm,以 DB 为直径作☉O,交射线 AP 于E,F 两点．求圆心O 到射线AP 的距离及弦EF 的长． 图３．１．１Ｇ９ 图３．１．１Ｇ８ 解 如图３．１．１Ｇ８所示,作OF⊥CD 于点 F,连接OD． 因为AE＝１cm,EB＝５cm, 所以AB＝６cm,