2.5 解直角三角形的应用-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

第２章　解直角三角形 ８３　 ２．５　解直角三角形的应用M > M 知识点一　仰角和俯角 　如图２．５Ｇ１,从低处观测高处的目标时,视线OA 与水 平线OC 所成的∠AOC 是仰角;从高处观测低处的 目标时,视线 OB 与水平线OC 所成的 ∠BOC 是 俯角． 图２．５Ｇ１ 图２．５Ｇ２ 【例１】如图２．５Ｇ２,从位于某塔的观 测点C 测得两建筑物底部A,B 的俯角分别为４５°和６０°,若此观 测点离地面的高度为５１m,A,B 两点在CD 的两侧,且点A,D,B 在同一条水平直线上,求A,B 之 间的距离(结果保留根号)． 解 由题意,得∠ECA＝４５°,∠FCB＝６０°,且EF∥AB, 所以∠A＝∠ECA＝４５°,∠B＝∠FCB＝６０°． 因为∠ADC＝∠BDC＝９０°,CD＝５１m, 所以在Rt△CDB 中,tanB＝ CD BD , 所以BD＝ CD tanB＝ ５１ ３ ＝１７３(m)． 同理可得,AD＝CD＝５１m, 所以AB＝AD＋BD＝(５１＋１７３)m． 答:A,B 之间的距离为(５１＋１７３)m． M  > M M  > M   > M (１)仰角和俯角是指 视线 相 对 于 水 平 线 而 言 的,可 简 记 为 “上 仰 下 俯”,仰 角 和 俯 角 都 是 锐角． (２)在实际问题中,常 利用平行线的性质,将仰 角或俯角放在直角三角形 或转化到直角三角形中． 
 数学　九年级　上册 ８４　 图２．５Ｇ３   > M 　　(１)方向角通常以南北线 为起始线,习惯说“南偏东(或 西)”或“北偏东(或西)”． 　　(２)含有４５°角的方位角 是 特 殊 的 一 类,可 直 接 描 述为: 　　北偏东４５°→东北方向; 　　北偏西４５°→西北方向; 　　南偏东４５°→东南方向; 　　南偏西４５°→西南方向． 　　(３)各观测点的南北线互 相平行,通常借助此性质进行 角度转化． 　　 (４)方 向 角 是 小 于 ９０° 的角． 两个转换搞定仰角和俯角的实际问题 有关仰角和俯角的实际问题,解答时注意两个 转换: (１)实际问题转换为数学问题(画图标数据),进 而转化为解直角三角形问题; (２)仰角、俯角转换为直角三角形的已知角． 知识点二　方向角 如图２．５Ｇ３,∠NOA,∠SOB,∠SOC,∠NOD 都是 方向角．其中目标方向OA 表示的方向角为北偏东 ３５°,目标方向OB 表示的方向角为南偏东７５°,目标 方向OC 表示的方向角为南偏西４５°,也称西南方向, 目标方向OD 表示的方向角为北偏西４０°． 　　　　图２．５Ｇ４ 【例２】如图２．５Ｇ４,在我国某 岛附近海域有两艘自西向 东航行的海监船A,B,船B 在船A 的正东方向,且两船 保持２０海里的距离,某一 时刻两海监船同时测得在 船A 的东北方向,船 B 的 北偏东１５°方向有一艘渔船 C,求此 时 船 C 与 船 B 的 距 离 是 多 少 (结 果 保 留根号)． 解 过点B 作BD⊥AC 于点D(图略)． 由题意可知,∠BAC＝４５°,∠ABC＝９０°＋１５°＝１０５°, 所以∠C＝１８０°－∠BAC－∠ABC＝３０°． 在Rt△ABD 中,BD＝AB􀅰sin∠BAD＝２０× ２ ２ ＝ １０２(海里)． 在Rt△BCD 中,BC＝ BD sinC＝ １０２ １ ２ ＝２０２(海里)． 答:此时船C 与船B 的距离是２０２海里． 第２章　解直角三角形 ８５　 　　在含特殊角的斜三角形中,通常过非特殊角的顶 点作高,然后利用特殊角的三角比求值．如解答此例 题的关键是求出∠C 的大小,通过∠C,∠BAC 是特 殊角联想到作高BD． 知识点三　坡度、坡角 如图２．５Ｇ５,斜坡AB 的坡度i＝ h l ,∠BAC(即∠α) 是坡角． 图２．５Ｇ５ 图２．５Ｇ６ 【例３】某过街天桥的截面 为梯形,如图２．５Ｇ６所示, 其中天桥斜面 CD 的坡 度为i＝１∶ ３,CD 的长 为１０m,天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC＝４５°． (１)写出过街天桥斜面AB 的坡度; (２)求过街天桥的高度; (３)若决定对该过街天桥进行改建,使AB 斜面的坡 度变缓,将其４５°坡角改为３０°,方便过路群众,改建后 斜面为 AF,试计算改建需多占路面宽度FB 的长 (结果精确到０．０１m)． 解 过点A 作AG⊥BC 于点G,过点D 作DE⊥BC 于点E(图略)． (１)设AB 的坡度为i′． 在Rt△AGB 中,因为∠ABG＝４５°,所以AG＝BG, 所以AB 的坡度i′＝ AG BG＝１． (２)在Rt△DEC 中,因为CD 的坡度i＝１∶ ３,   > M 　　(１)坡度又叫做坡比,是 斜坡的铅直高度与水平距离 的比,没有单位