2.2 30°，45°，60°角的三角比-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

第２章　解直角三角形 ６３　 M  > M２．２　３０°,４５°,６０°角的三角比 知识点一　３０°,４５°,６０°角的三角比 α sinα cosα tanα 图形 ３０° １２ ３ ２ ３ ３ ４５° ２ ２ ２ ２ １ ６０° ３ ２ １ ２ ３ 【例１】求下列各式的值: (１)sin４５°􀅰cos４５°＋tan６０°􀅰sin６０°; (２)sin３０°－cos２４５°＋ ３ ４tan ２３０°＋sin２６０°－cos６０°． 解 (１)sin４５°􀅰cos４５°＋tan６０°􀅰sin６０° ＝ ２ ２× ２ ２＋ ３× ３ ２ ＝ １ ２＋ ３ ２＝２． (２)sin３０°－cos２４５°＋ ３ ４tan ２３０°＋sin２６０°－cos６０° ＝ １ ２－ ( ２ ２ ) ２ ＋ ３ ４× ( ３ ３ ) ２ ＋ ( ３ ２ ) ２ － １ ２ ＝ １ ２－ １ ２＋ １ ４＋ ３ ４－ １ ２＝ １ ２． 知识点二　同角的三角比之间的关系 １．同角的三角比之间关系的推导 如图２．２Ｇ１所示,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,由三角   > M  

(１)熟记３０°,４５°,６０° 角的三角比的值,以便用 于计算．反过来,要能利用 特殊 角 的 三 角 比 的 值 求 出对应锐角的度数． (２)最终结果含有二 次根式的应化为最简根式． 数学　九年级　上册 ６４　 图２．２Ｇ１ TJO
α
DPT
α
UBO
α 
   对于 锐 角α 的 三 角 比 之 间 的 关 系 有 以 下 变式: (１)sinα＝ １－cos２α, cosα＝ １－sin２α; (２)sinα＝tanα􀅰 cosα,cosα＝ sinα tanα． 比的定义及勾股定理,得sin２A＋cos２A＝ ( a c ) ２ ＋ ( b c ) ２ ＝ a２＋b２ c２ ＝ c２ c２＝１． 类似地,有下列结论:因为tanA＝ a b ,sinA＝ a c , cosA＝ b c ,所以sinA cosA＝ 　 a c　 b c ＝ a b ,所以tanA＝ sinA cosA． ２．同角的三角比之间的关系 关系 速记内容 巧记关系式 平方关系 同一个锐角α的正弦值与 余弦值的平方和等于１ sin２α＋cos２α＝１ 商的关系 同一个锐角α的正弦与余 弦的比值等于它的正切值 tanα＝ sinα cosα 【例２】在 Rt△ABC 中,若 ∠C＝９０°,sinA＝ ３ ５ ,则 tanA􀅰cosA 的值是 (　　) A． １６ ２５　　　　B． ９ ２５　　　　C． ４ ５　　　　D． ３ ５ 解析 因为tanA＝ sinA cosA , 所以tanA􀅰cosA＝sinA＝ ３ ５． 答案 D 知识点三　互余两角的三角比之间的关系 由三 角 比 的 定 义,知 在 Rt△ABC 中,∠C ＝９０°, sinA＝ a c ,cosB＝ a c ,故有sinA＝cosB,而∠A＋ ∠B ＝９０°,∠B ＝９０°－ ∠A,由 此 得 出 结 论: sinA＝cos(９０°－∠A),cosA＝sin(９０°－∠A), 即 一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,一个锐角 的余弦值等于它的余角的正弦值． 第２章　解直角三角形 ６５　 【例３】如果α 为锐角,且sin２α＋sin２４６°＝１,那么α 的 度数为 (　　) A．４６°　　　　B．５４°　　　　C．４４°　　　　D．３４° 解析 由已知sin２α＋sin２４６°＝１联想到公式sin２A＋ cos２A＝１,需要把sin２４６°转化为cos２α的形式,进而想 到公式sin(９０°－α)＝cosα．因此,sin２４６°＝sin２(９０°－ ４４°)＝cos２４４°,即sin２α＋cos２４４°＝１,所以α＝４４°． 答案 C 巧用三角比关系式求值 (１)遇到sin２α和cos２α时,巧用sin２α＋cos２α＝１能 起到事半功倍的效果; (２)套用三角比关系式时,转化为已知角的三角 比较简单． (１)在 Rt△ABC 中, ∠C＝９０°,a,b 分别为两直角 边长,tanA＝ a b ,tanB＝ b a , 所以tanA􀅰tanB＝ a b 􀅰b a＝ １．又因为∠B＝９０°－∠A,所以 tanA􀅰tan(９０°－∠A)＝１． (２)若 锐 角 α,β 满 足 sinα＝cosβ,则α＋β＝９０°． 常考题型解读 题型一　特殊角的三角比的计算 【例１】求下列各式的值: (１)cos２６０°＋cos２４５°＋ ２sin３０°􀅰sin４５°; (２) cos６０°＋sin４５° cos６０°－sin４５°＋ cos６０°－c