2.1 锐角三角比-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

５３　   M  > M 第２章　解直角三角形 ２．１　锐角三角比 - @   - @   知识点一　正弦、余弦、正切的定义 名称 前提条件 定义 图形 符号语言 正弦 余弦 正切 在Rt△ABC 中,∠A 为 锐角 sinA＝ ∠A 的对边 斜边 cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 sinA＝ a c cosA＝ b c tanA＝ a b 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意: 　　(１)正弦、余弦、正切是在直角三角形中相对某 锐角而定义的,其本质是两条线段的长度之比． 　　(２)锐角A 的正弦、余弦、正切是比值,没有单 位,它们仅与∠A 的大小有关,而与∠A 所在的直 角三角形的大小无关,当∠A 的大小确定后,三个 比值也随之确定． 图２．１Ｇ１ 【例１】如图２．１Ｇ１,在△ABC 中,∠C＝ ９０°,BC＝１,AC＝２,求sinA,sinB, cosA,cosB,tanA,tanB 的值． 解 在Rt△ABC 中, 因为AB＝ ２２＋１２ ＝ ５, 所以sinA＝ BC AB＝ １ ５ ＝ ５ ５ ,sinB＝ AC AB＝ ２ ５ ＝ ２５ ５ , cosA＝ AC AB＝ ２ ５ ＝ ２５ ５ ,cosB＝ BC AB＝ １ ５ ＝ ５ ５ , tanA＝ BC AC＝ １ ２ ,tanB＝ AC BC＝ ２ １＝２． (１)sinA,cosA,tanA 分别是一个完整的记号． (２)在sinA,cosA, tanA 中,∠A 的角的符 号“∠”习惯上省略不写, 但对 于 用 三 个 大 写 英 文 字母 和 用 阿 拉 伯 数 字 表 示的角,角的符号不能省 略,如sin∠ABC,cos∠１． (３)sin２α表示(sinα)２, cos２α表示(cosα)２,tan２α 表示(tanα)２． 任意锐角α 的正弦值、余 弦值和正切值都是正数,且有 ０＜sinα＜１,０＜cosα＜１, tanα＞０． 数学　九年级　上册 ５４　   > M (１)锐角与其三角比 构成三个函数关系,其中 ∠A 是自变量,其取值范 围是０°＜∠A＜９０°,三个 比的值分别是因变量． (２)并非只有在直角 三角 形 中 才 有 锐 角 三 角 比,而是只要有锐角就有 三角比． 求正弦、余弦、正切的三点注意 (１)记清正弦、余弦、正切的定义． (２)求出直角三角形的三条边,通常会用到勾股 定理;遇到边的比时,常设辅助参数进行求值． (３)最终结果是二次根式的要注意化简,分母中 不能含有根号． 知识点二　锐角三角比的定义 　锐角A 的正弦、余弦、正切统称锐角A 的三角比(锐 角A 的三角比也叫做锐角A 的三角函数)． 【例２】在等腰三角形ABC 中,AB＝AC,２AB＝３BC, 求∠B 的三角比． 图２．１Ｇ２　 解 如图２．１Ｇ２所示,过点A 作AD⊥BC, 垂足为点D． 因为AB＝AC,AD⊥BC, 所以BD＝CD＝ １ ２BC． 因为２AB＝３BC,   
所以 AB BC＝ ３ ２． 设AB＝AC＝３k(k＞０), 则BC＝２k,所以BD＝CD＝k, 所以AD＝ AB２－BD２ ＝ ９k２－k２ ＝２２k． 所以sinB＝ AD AB ＝ ２２ ３ ,cosB＝ BD AB ＝ １ ３ ,tanB＝ AD BD＝２２． 作高构造直角三角形,求锐角三角比 求某个锐角的三角比时,作三角形的高构造出此 锐角所在的直角三角形是解题的关键．特别地,在等 腰三角形中,常利用“三线合一”构造需要的直角三 角形． 第２章　解直角三角形 ５５　 常考题型解读 题型一　运用角的等量关系求三角比 图２．１Ｇ３ 【例１】如图２．１Ｇ３,CD 是 Rt△ABC 斜 边上 的 高,∠ACB ＝９０°,AC ＝４, BC＝３,则cos∠BCD 的值是 (　　)       A． ３ ５　　　　　　　　B． ３ ４ C． ４ ３ D． ４ ５ 思路分析 所给的两条边为 Rt△ABC 的两条直角边,在 Rt△ABC 中找与∠BCD 相等的角． 解析 由已知,得∠A＋∠B＝９０°,∠B＋∠BCD＝９０°, 所以∠A＝∠BCD,所以cos∠BCD＝cosA． 在 Rt△ABC 中,cosA＝ AC AB＝ AC AC２