1.3 相似三角形的性质-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

数学　九年级　上册 ２２　 １．３　相似三角形的性质 M > M  A+! ,!U D +PU +! ,!U J U (１)相似三角形的周 长的比等于相似比． (２)相似多边形的周 长的比等于相似比,面积 的比等于相似比的平方． 知识点　 相似三角形的性质   > M １．性质:相似三角形对应线段的比等于相 似比;面积的比等于相似比的平方． qr
２．符号语言 (１)如图１．３Ｇ１所示,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k, AD,A′D′是对应高,AE,A′E′是对应中线,AF,A′F′是对 应角平分线,则AD A′D′＝ AE A′E′＝ AF A′F′＝ AB A′B′＝k． 图１．３Ｇ１ (２)若△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,则 S△ABC S△A′B′C′＝k ２． 【例】如图１．３Ｇ２,在△ABC 和△EBD 中, AB EB＝ BC BD＝ ５ ２．∠ABD＝∠CBE． 图１．３Ｇ２ (１)若△ABC 与△EBD 的周长差为６０cm,求这两个 三角形的周长; (２)若△ABC 与△EBD 的面积和为８１２cm２,求这两 个三角形的面积． 解 因为∠ABD＝∠CBE, 所以∠ABD＋∠DBC＝∠DBC＋∠CBE, 即∠ABC＝∠EBD． 又因为 AB EB＝ BC BD＝ ５ ２ , 第１章　图形的相似 ２３　 所以△ABC∽△EBD． (１)设△ABC 的周长为５xcm,则△EBD 的周长为 ２xcm． 由题意,知５x－２x＝６０． 解得x＝２０, 所以△ABC 的周长为５x＝５×２０＝１００(cm), △EBD 的周长为２x＝２×２０＝４０(cm)． (２)因为 S△ABC S△EBD ＝ ( ５ ２) ２ ＝ ２５ ４ , 所以设S△ABC＝２５ycm２,则S△EBD＝４ycm２． 由题意,知２５y＋４y＝８１２,解得y＝２８, 所以S△ABC ＝２５y＝２５×２８＝７００(cm２),S△EBD ＝ ４y＝４×２８＝１１２(cm２)． 相似性质要记清,方程帮你快求值 　　求相似三角形的周长和面积时,常利用相似三角 形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方 来列方程(组)求解． 0UL!U DJ5UL/+ UA
U 常考题型解读 题型一　利用相似三角形的性质计算 求相似三角形对应线段的比 【例１】已知△ABC∽△DEF,若△ABC 与△DEF 的 相似比为２∶３,则△ABC 与△DEF 对应边上中线 的比为　　　　． 思路分析 相似三角形对应线段的比等于相似比． 解析 因为△ABC∽△DEF,且△ABC 与△DEF 的相 似比为２∶３,所以△ABC 与△DEF 对应边上中线 的比为２∶３． 答案２∶３ １．已 知 △ABC ∽ △DEF, △ABC 与 △DEF 的周长 之比为２∶５,则△DEF 与 △ABC 对应角的平分线的 比为　　　　． 数学　九年级　上册 ２４　 ２．如 图 １．３Ｇ４,△ABC 中, DE∥BC,DE 把 △ABC 分为面积相等的两部分,则 AB∶AD＝　　　　． 图１．３Ｇ４ ３．如图１．３Ｇ５,D,E 是AB 的 三等分点,F,G 是AC 的三 等 分 点,△ADF、四 边 形 DEGF、四边形BCGE 的面 积分别记为S１,S２,S３,则 S１∶S２∶S３＝　　　　． 图１．３Ｇ５ ４．如 图 １．３Ｇ７ 所 示,AD 为 △ABC 中 BC 边 上 的 高, AD＝６０cm,两个全等的正 方 形 EHGN,NFIG 在 △ABC 内部,点E,F 分别 图１．３Ｇ３ 求相似三角形面积的比 【例２】如图１．３Ｇ３,D,E 分别是 △ABC 的边AB,BC 上的点, 且DE∥AC,AE,CD 相交于 点O,若S△DOE∶S△COA ＝１∶ ２５,则S△BDE与S△CDE的比是 (　　) A．１∶３　　　　　　　　　B．１∶４ C．１∶５ D．１∶２５ 思路分析 △BDE 与△CDE 同高不同底,所以S△BDE ∶ S△CDE＝BE∶EC． 解析 因为DE∥AC, 所以∠EDO＝∠ACO,∠DEO＝∠CAO, 所以△DOE∽△COA． 又因为S△DOE∶S△COA＝１∶２５, 所以DE∶CA＝１∶５． 又因为DE∥AC, 所以∠BDE＝∠BAC,∠BED＝∠BCA, 所以△BED∽△BCA． 因为BE∶BC＝DE∶AC＝１∶５, 所以BE∶EC＝１∶４, 所以S△BDE∶S△CDE＝１∶４． 答案 B "> 求三角形面积之比常用的方法 (１)相似三角形面积的比等于相似比的平方． (２)等 高(底)的 两 个 三 角 形 面 积 之 比 等 于 底(高) 的比． 题型二