3.7 可化为一元一次方程的分式方程-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第３章　分　式 １３７　 0  0 ３．７　可化为一元一次方程的分式方程M > M M  > M 知识点一　分式方程的概念 １．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． ２．分式方程的主要特征 (１)是方程; (２)方程中含分母; (３)分母中含有未知数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:关于x 的方程就是只有x 是未知数,其他字母 都是已知数． 【例１】下列关于x 的方程:① x－１ ３ ＝５ ,② １ x＝ ４ x－１ , ③ １ x (x２－１)－x＝１,④ x a ＝ １ b－１ 中,是分式方程的 有 (　　) A．４个　　　B．３个　　　C．２个　　　D．１个 解析 由分式方程的概念,知②③的分母中都含有未 知数,都是分式方程;而①④的分母中都不含未知数 x,故都不是分式方程． 答案 C 知识点二　分式方程的解法及增根 １．解分式方程的基本思路 先将分式方程的两边都乘各分式的最简公分母,将分 式方程转化为整式方程,再通过解整式方程,求得分 式方程的解． 整式方程的分母中不含未知数,分 式方程的分母中含有未知数． E U+- U/U  -U   / U 数学　八年级　上册 １３８　 0  0 J% (１)分式方程变形时,两 边同乘最简公分母,若方程中 含有整式项,则切勿漏乘． (２)检验是解分式方程必 不可少的步骤,并非可有可无． EDK+ ?>OU / / 分式方程要验根 产生增根的原因 去分母时,方程两边 都乘 的 最 简 公 分 母 是 含 有字母的式子,这个式子 的值有可能为零,对于整 式方程来说,求出的根成 立,而对于原分式方程来 说,分 式 可 能 无 意 义,所 以求 出 的 根 有 可 能 是 原 分式方程的增根． ２．解分式方程的一般步骤 变 　 形 方程两边都乘最简公分母,把分式 方程化为整式方程． 解整式方程 ↓ 去括号、移项、合并同类项等． 检 　 验 ↓ 将整式方程的解代入最简公分母, 若最简公分母的值不为０,则整式 方程的解就是原分式方程的解;否 则,这个解不是原分式方程的解． ３．增根 在方程变形的过程中,产生的不适合原方程的根叫做 方程的增根．增根应当舍去． 【例２】解分式方程: (１) ３ x２－９＋ x x－３＝１ ; (２) １ x－２＝ １－x ２－x－３． 解 (１)方程两边都乘(x＋３)(x－３),得 ３＋x(x＋３)＝x２－９． 整理,得３x＝－１２,解得x＝－４． 检验:当x＝－４时,(x＋３)(x－３)≠０． 所以x＝－４是原分式方程的根． (２)方程两边都乘(x－２),得 １＝x－１－３(x－２)． 整理,得２x＝４,解得x＝２． 检验:当x＝２时,x－２＝０． 故x＝２是增根． 故原分式方程无解． 分式方程求解,检验很重要 　　解分式方程进行检验时,只需检验所得到的整 式方程的解是否使最简公分母为０．若求出的解使 最简公分母的值为０,即为增根,则它不是原分式 方程的解;若求出的解使最简公分母的值不为０, 则它是原分式方程的解． 第３章　分　式 １３９　 0  0 知识点三　分式方程的应用 １．列分式方程常用的等量关系   > M (１)行程问题:速度×时间＝路程． (２)利润问题:利润＝售价－进价; 利润率＝利润÷进价×１００％． (３)工程问题:工作量＝工作时间×工作效率; 工作总量＝各个工作分量之和． (４)储蓄问题:本息和＝本金＋利息． ２．列分式方程解应用题的一般步骤  @  M,+0F2/ ? ?/ >O!+ /+ U>O!+ 0 KO 0 0 @-U* -+= .-F #MU#-F -F M+0F2 【例３】冬季供暖来临前,某单位决定对７２００m２的“外 墙保温”工程进行招标,现有甲、乙两个工程队参与投 标,比较这两个工程队的标书发现:乙队每天完成的 工程量是甲队的１．５倍,这样乙队单独干比甲队单独 干能提前１５天完成任务．问:甲队每天完成多少平 方米? 解 设甲队每天完成x m２,则乙队每天完成１．５x m２． 根据题意,得 ７２００ x － ７２００ １．５x＝１５ ,解得x＝１６０． 经检验,x＝１６０是原分式方程的根． 所以甲队每天完成１６０m２． (１)在实