3.6 比和比例-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第３章　分　式 １３１　 0  0 ３．６　比和比例M > M M  > M 知识点一　比的相关概念 １．比的定义 两个数a 与b(b≠０)相除,叫做a 与b的比,记作a∶ b或 a b． ２．比的前项和后项:在a∶b或 a b 中,a 叫做比的前项,b 叫做比的后项． ３．比的表示方法 比的表示方法有两种:(１)a∶b;(２) a b． 其中比的前项相当于分式的分子,“∶”相当于分数 线,比的后项相当于分母． 【例１】把下面的比写成分式的形式,并化简． (１)(x２－９y２)∶(３y－x);　(２)４a∶(a２－ab)． 解 (１)(x２ －９y２)∶ (３y －x)＝ x２－９y２ ３y－x ＝ (x＋３y)(x－３y) －(x－３y) ＝－x－３y． (２)４a∶(a２－ab)＝ ４a a２－ab＝ ４a a(a－b)＝ ４ a－b． 知识点二　比例及其基本性质 １．比例的定义及相关概念 (１)比例:表示两个比相等的式子叫做比例式,简称比 例．如果a 与b 的比等于c与d 的比,就说a,b,c,d 四个数成比例．可以写成a∶b＝c∶d 或 a b＝ c d． (２)相关概念:在比例中,a,b,c,d 叫做组成比例的 项,其中a 与d 叫做比例的外项,b与c叫做比例的内 (１)在一个比中,比的前 项和比的后项是有顺序性的, 即 a b 和 b a 是不同的． (２)比可以写成分式的形 式,因此,分式的基本性质在 此仍然适用． (３)把a∶b 写成 a b 的形 式,找准分子、分母的公因式, 正确约分是化简比的关键． J% (１)任意交换两内项 (或两外项)的位置,比例 式仍然成立． (２)利用比例的基本 性质,可以把除法转化为 乘法,也可以把乘法转化 为除法． 数学　八年级　上册 １３２　 0  0 (１)如 果ad＝bc≠０,那 么a∶b＝c∶d 或a∶c＝b∶d． (２)合比、分比性质:如果 a b＝ c d , 那么 a±b b ＝ c±d d (bd≠０)． (３)更比性质:如果 a b ＝ c d ,那么a c＝ b d (bcd≠０)． (４)反比性质:如果 a b ＝ c d ,那么b a＝ d c (ab≠０,cd≠０)． (５)合 分 比 性 质:如 果 a b＝ c d ,那么a＋b a－b＝ c＋d c－d (a≠ b,c≠d,bd≠０)． (６)等比性质:如果 a b ＝ c d＝ 􀆺＝ m n (b＋d＋􀆺＋n≠ ０),那么 a＋c＋􀆺＋m b＋d＋􀆺＋n＝ a b．   > M 项．当比例的两个内项相等,即当 a b＝ b c 时,b 叫做a 和c的比例中项． ２．比例的基本性质 如果 a b＝ c d ,那么ad＝bc(bd≠０)．这就是说,在比例 中,两外项的乘积等于两内项的乘积． 【例２】根据下列条件,求x∶y 的值． (１)４x＝５y;　(２) x＋y x ＝ ３ １ ;　(３) ３x－５y ２x＋４y ＝ ５ ８． 解 (１)由４x＝５y,得 x y ＝ ５ ４ ,即x∶y＝５∶４． (２)由 x＋y x ＝ ３ １ ,得３x＝x＋y, 即３x－x＝y,得２x＝y． 所以x∶y＝１∶２． (３)由 ３x－５y ２x＋４y ＝ ５ ８ ,得８(３x－５y)＝５(２x＋４y), 化简,得２４x－１０x＝２０y＋４０y,即１４x＝６０y． 所以x∶y＝６０∶１４＝３０∶７． 注意“一点”,即可学会比例的基本性质 　　比例的基本性质常用于比例式与乘积式的相 互转化,只要注意一点,转化就不会出现错误,即不 看位置,只看实质———两内项之积等于两外项之积． 知识点三　线段的比和比例线段 １．线段的比:在选用同一单位长度表示两条线段长度 时,它们的量数的比,叫做这两条线段的比． ２．比例线段:在四条线段a,b,c,d 中,如果a∶b＝c∶ d,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段,简称 比例线段． 第３章　分　式 １３３　 0  0 【例３】已知四条线段a,b,c,d 成比例,其中a＝２cm, c＝５cm,d＝１５cm,求b． 解 由题意,得a∶b＝c∶d． 因为a＝２cm,c＝５cm,d＝１５cm, 所以 ２ b＝ ５ １５ ,所以b＝６cm． 　判断四条线段是否成比例的步骤 　　第１步:排,先将四条线段的长度单位统一,再 按大小顺序排列． 　　第２步:算,分别求出前两条线段长度的比和 后两条线段长度的比． 　　第３步:判,若这两个比相等,则这四条线段成 比例;若这两个比不相等,则这四条线段不成比例． 知识点四　连比 　　当前一个比的后项与后一个比的前项相同时,如 a∶b＝５∶４,b∶c＝４∶３,可以把这两个比连起来写在 一起,得到a∶b∶c＝５∶４∶３,这种形