3.1 分式的基本性质-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

９５　 0  0 第３章　分　式 ３．１　分式的基本性质-@ '  M  > M 知识点一　分式的概念 １．概念:如果把除法算式A÷B 写成 A B 的形式,其中A, B 都是整式,且B 中含有字母时,我们把代数式 A B 叫 做分式,其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母． ２．对概念的理解 (１)在分式 A B 中,A,B 为整式, A B 是两个整式相除的 商,注意A B 也可表示为A÷B． (２)分式的分子中可以含有字母,也可以不含字母,但 分式的分母中必须含有字母． 【例１】在式子 x ３x＋１ ,－ x２＋１ ２ ,x ３－y ２,３a－b a＋２ ,x ２－１ x－１ , a π 中,分式的个数是 (　　) A．１　　　　B．２　　　　C．３　　　　D．４ 解析 先看形式是否为 A B ,再看分母中是否含有字母, 若含 有 字 母,则 是 分 式,否 则 就 不 是 分 式．本 题 中, x ３x＋１ ,３a－b a＋２ ,x ２－１ x－１ 三 个 式 子 的 分 母 中 都 含 有 字 母,是分式;x ３－y ２ 不是 A B 的形式,是整式;－ x２＋１ ２ , a π 两个式子的分母中的２和π是常数,它们是整式． 答案 C (１)分式实际上是一个商 式,它的分子是被除式,分母 是除式,分数线相当于除号, 同时也有括号的作用,如a－１ a＋１ 也可以表示为(a－１)÷(a＋１)． (２)圆 周 率 π 是 一 个 常 数,不表示“字母”,如２ π 是整 式,而不是分式． J% 分式 是 一 个 形 式 定 义．因此,判断一个式子是 不是分式,不能从原式化 简后的结果来判断,而应 该从 原 式 是 否 符 合 分 式 的概 念 进 行 判 断．例 如, x２ x 就是分式． 数学　八年级　上册 ９６　 0  0 讨论分式有无意义时,一 定要对原分式进行讨论,而不 能先将原分式化简后再讨论． 如果化简后再讨论,分母里字 母的取值范围往往会扩大．如 化简分式 x２ x ＝x ,然后对x 进 行讨论,就得到x 取任何数时 分式都有意义,这显然是错误 的,实际上应满足x≠０．  >  U  U  A B 两步法判断分式 　　第１步:看形式,判断是否为 A B 的形式,且A,B 为整式． 　　第２步:看内容,看B 中是否含有字母． 知识点二　分式有意义和无意义的条件 １．分式有意义的条件:分母的值不能为０(因为在除法运 算中,０不能作除数,所以分式中分母的值也不能为 ０),即在分式 A B 中,B≠０． ２．分式无意义的条件:分母的值为０,即在分式 A B 中, B＝０． 【例２】当x 为何值时,下列分式有意义? (１) x＋１ x－２ ; (２) x－１ x２＋１． 解 (１)由分母x－２≠０,得x≠２． 故当x≠２时,分式 x＋１ x－２ 有意义． (２)因为不论x 取何值,都有x２＋１＞０, 所以x 取任意值,分式 x－１ x２＋１ 都有意义． 分式有意义,巧求字母值(取值范围) 　　分式的分母不为０,并不是说分母中的字母不 能为０,而是表示分母的式子不能为０．要使分式有 意义,可以先假定分母等于０,求出相应的字母的 值,再在字母的取值范围内去掉这些值． 第３章　分　式 ９７　 0  0 知识点三　分式值为０的条件   > M 　　分式值为０应同时满足的两个条件: (１)分子等于０,(２)分母不等于０． 即当A＝０,且B≠０时,分式 A B＝０． 【例３】若分式 |x|－１ x２－x－２ 的值为０,则x＝ ． 解析 由分子|x|－１＝０,得x＝±１．当x＝－１时,分 母x２－x－２＝(－１)２－(－１)－２＝０,此时分式无意 义,舍去;当x＝１时,分母不为０,分式的值为０． 答案１ 分式值为０时分母不为０ 　　分式值为０的条件是分子为０,且分母不为０． 有时字母的取值使分子为０,且分母也恰好为０,此 时字母的值就不是使分式值为０的值． 知识点四　分式的基本性质 文字语言 数学语言 举例 分式的分子与 分母都乘(或 除以)同一个 不等于零的整 式,分式的值 不变 A B＝ A􀅰M B􀅰M (M≠０),其 中A,B,M 都是整式 ３x２ ２xy２ ＝ ３x２􀅰m ２xy２􀅰m (m≠０) A B＝ A÷M B÷M (M≠０),其 中,A,B,M 都是整式 ３x２ ２xy２ ＝ ３x２÷x ２xy２÷x ＝ ３x ２y２ 【例４】填写下列等式中未知的分子或分母: (１) x＋y x－y ＝ x２－y２ (　　) ; (２) (b－a)(c－b) (a－c)(a－b)(b－c)＝ (　　) a－c ; (３) b－a a ＝ (　　) ab (b≠０)．