2.6 等腰三角形-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第２章　图形的轴对称 ７５　 0  0 ２．６　等腰三角形 ２．６．１　等腰三角形M > M M  > M 知识点一　等腰三角形的性质 １．等腰三角形的性质 (１)等腰三角形是轴对称图形．等腰三角形的对称轴 是底边的垂直平分线． (２)等腰三角形的底边上的高、底边上的中线及顶角 的平分线重合(简称“三线合一”)．    (３)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等 角”)． ２．等腰三角形“三线合一”的应用格式 A B CD 图２．６．１Ｇ１ 如图２．６．１Ｇ１． (１)因为AB＝AC,AD 为BC 边上的中 线,所以AD⊥BC,且AD 平分∠BAC． (２)因为AB＝AC,AD 为∠BAC 的平分 线,所以AD⊥BC,且BD＝CD． (３)因为AB＝AC,AD⊥BC, 所以BD＝CD,且AD 平分∠BAC． A B D C 图２．６．１Ｇ２ 【例１】如图２．６．１Ｇ２,AB＝AC,D 为BC 的中 点,∠BAD＝２０°,求∠C 的度数． 解 因为AB＝AC,D 为BC 的中点, 所以∠C＝∠B,AD⊥BC． 又因为∠BAD＝２０°, 所以∠B＝９０°－２０°＝７０°, 所以∠C＝∠B＝７０°． (１)等腰三角形是特 殊的三角形,它具备三角 形所有的性质,如内角和 是１８０°,两边之和大于第 三边等． (２)在 等 腰 三 角 形 中,若 没 有 指 明 腰 和 底 边,顶 角 和 底 角,则 要 分 类讨论,切勿漏解． (３)“三线合一”中的 “三线”是 指 底 边 上 的 中 线、底 边 上 的 高、顶 角 的 平分线,不是腰上的中线、 高和对应底角的平分线． E!*  U 3  U 数学　八年级　上册 ７６　 0  0 (１)等腰三角形两腰 上的中线、高分别相等． (２)等腰三角形两底 角的平分线相等． (３)等腰三角形底边 上的 任 意 一 点 到 两 腰 的 距 离 之 和 等 于 一 腰 上 的高． (１)等腰三角形的判定和 它的性质一样,仅限于在同一 个三角形中应用． (２)等腰三角形的性质是 “等边对等角”,判定是“等角 对等边”,不要混淆． >, 0U0 6> D,0U 06 > 【例２】如图２．６．１Ｇ３所示,在△ABC 中,AB＝AC,点D 在AC 上,且BD＝BC＝AD,求∠A 的度数． A B C D 图２．６．１Ｇ３ 解 因为BD＝AD,所以∠A＝∠ABD． 因为BD＝BC,所以∠BDC＝∠C． 又因为∠BDC＝∠A＋∠ABD＝２∠A, 所以∠C＝∠BDC＝２∠A． 因为AB＝AC,所以∠ABC＝∠C． 又因为∠A＋∠ABC＋∠C＝１８０°, 所以∠A＋２∠C＝１８０°． 把∠C＝２∠A 代入上式,得∠A＋２×２∠A＝１８０°, 解得∠A＝３６°． 知识点二　等腰三角形的判定方法 １．有两边相等的三角形叫做等腰三角形． ２．有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对 等边”)． ３．判定方法可以用来说明一个三角形是等腰三角形,也 可作为说明线段或角相等的依据． 【例３】如图２．６．１Ｇ４,DB＝DC,∠ABD＝∠ACD．试说 明:AB＝AC． A D B C 图２．６．１Ｇ４ 解 连接BC(图略)． 因为DB＝DC, 所以∠DBC＝∠DCB． 又因为∠ABD＝∠ACD, 所以 ∠DBC ＋ ∠ABD ＝ ∠DCB ＋ ∠ACD, 即∠ABC＝∠ACB．所以AB＝AC． 添加辅助线构造等腰三角形 　　在已知两条线段相等时,经常添加辅助线,构 造等腰三角形,使已知线段成为某个三角形的两 边,从而利用“等边对等角”解题． 第２章　图形的轴对称 ７７　 0  0 常考题型解读 题型一　等腰三角形中的分类讨论 角的分类讨论 【例１】等腰三角形的一个角是另一个角的４倍,求它的 各个内角的度数． 思路分析 题目条件未指明底角是顶角的４倍,还是顶 角是底角的４倍,故需分类讨论． 解 (１)当底角是顶角的４倍时,设顶角为x,则底角为 ４x, 所以４x＋４x＋x＝１８０°,所以x＝２０°,所以４x＝８０°, 所以三角形的各个内角的度数为２０°,８０°,８０°． (２)当顶角是底角的４倍时,设底角是x,则顶角为 ４x, 所以x＋x＋４x＝１８０°,所以x＝３０°,所以４x＝１２０°, 所以三角形的各个内角的度数为３０°,３０°,１２０°, 故三角形各个内角的度数为２０°,８０°,８０°或３０°,３０°, １２０°． 边的分类讨论 【例２】如果一个等腰三角形的两边长分别为 ４cm 和 ６cm,那么这个等腰三角形的周长是 ;如果 一个等腰三角形的两边长分别为２cm 和８cm,那么 这个等腰三角形的周长是 ． 思路分析 题目中未明确指明腰