2.5 角平分线的性质-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第２章　图形的轴对称 ６７　 0  0 ２．５　角平分线的性质M > M 知识点一　角的对称性及角平分线的性质 １．角的对称性 角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称 轴． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋注意:(１)角平分线是一条射线;(２)对称轴是一条直线． ２．角平分线的性质 文字语言 数学语言 图示 角平分线上 的 点,到 这 个角的两边 的距离相等 已知∠AOC＝∠BOC,点 P 在OC 上,PD ⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为点 D,E,则PD＝PE O D E B A C P 【例１】如图２．５Ｇ１,在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AD 平分 ∠CAB,BD＝２CD,点D 到AB 的距离为５．６cm,求 BC 的长． A C D B 图２．５Ｇ１ 　　　　 A C D B E 图２．５Ｇ２ 解 如图２．５Ｇ２,过点D 作DE⊥AB 于点E． 因为AD 平分∠CAB,∠C＝９０°, 所以CD＝DE＝５．６cm． 所以BD＝２CD＝２×５．６＝１１．２(cm)． 所以BC＝CD＋BD＝５．６＋１１．２＝１６．８(cm)． 　　图形中出现角的平分线,且过该角平分线上一 点作其中一边的垂线时,往往需要过该点作另一边 的垂线,这样就可以利用角平分线的性质进行线段 的转化． (１)在角平分线的性 质中,“距 离”是 指“点 到 直线的距离”,因此,在应 用时 必 须 含 有“垂 直”这 个条件,否则不能得到线 段相等． (２)能用角平分线的 性质 解 答 的 问 题 一 般 都 能用全等三角形解决．   > M 　　角的平分线的性质可以 说明线段相等,其中在运用角 平分线的性质时,常由角平分 线上的已知点向角的两边作 垂线段． ! U+ >3UD +C.,0+ 数学　八年级　上册 ６８　 0  0 (１)角的平分线可以 看成是由到角两边距离相 等的所有点组成的射线． (２)三角形的三条角 平分线相交于一点,这个 点叫做三角形的内心,它 到 三 角 形 三 边 的 距 离 相等． 角平分线判定的“两误区” (１)垂 足 的 位 置 不 对: 如图２．５Ｇ３,垂 线 段 的 垂 足 应 在角的两边上,而不是在角平 分线上; O C P D A B 图２．５Ｇ３ (２)有 相 等 无 垂 直: 如图２．５Ｇ４,PC＝PD 是线段 相等,不是距离相等． O C P D A B 图２．５Ｇ４ 知识点二　角平分线的判定 １．角平分线的判定 文字语言 数学语言 图示 角的内部到 角的两边距 离相等的点 在角的平分 线上 因为 PD ⊥OA,PE⊥ OB,PD ＝PE,所 以 点P在∠AOB 的平分 线上 O D E B A C P ２．作用:可以用来说明两个角相等或一条射线是角的平 分线． ３．角平分线的性质与判定的关系 角平分线的性质与判定是互逆的,它们的条件和结论 正好相反．  4@ 4@  B  %>3 %>D+C.,0 【例２】如图２．５Ｇ５所示,已知△ABC 的两内角的平分 线BE,CF 相交于点P．点P 在∠A 的平分线上吗? 请说明理由． A F P E CB 图２．５Ｇ５ 　　　　 A N F PE M D CB 图２．５Ｇ６ 解 点P 在∠A 的平分线上．理由如下: 如 图 ２．５Ｇ６,过 点 P 作 PD ⊥BC,PM ⊥AC, PN⊥AB,垂足分别为点D,M,N． 因为BE 平分∠ABC,PD⊥BC,PN⊥AB, 所以PD＝PN． 同理,PD＝PM,所以PM＝PN, 所以点P 在∠A 的平分线上． 第２章　图形的轴对称 ６９　 0  0 说明一个点在某角的平分线上的方法 　　要说明一个点在某角的平分线上,根据角平分 线的判定,只需要说明这个点到这个角两边的距离 相等即可． 知识点三　用尺规作角的平分线 １．依据:用尺规作一个角的平分线也属于基本作图,其 依据是三角形全等的判定方法:边边边． ２．作法: 已知:∠AOB． 求作:∠AOB 的平分线． 作法:(１)以点O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分 别交这个角的两边于 M,N 两点; (２)分别以点 M,N 为圆心,以大于 １ ２MN 的长为半 径作弧,两条弧交于点C; (３)作射线OC． 射线OC就是所求作的∠AOB 的平分线,如图２．５Ｇ７所示． 【例３】如图２．５Ｇ８所示,已知∠α,∠β,用直尺和圆规求 作一个∠γ,使得∠γ＝∠β＋ １ ２∠α (作出正确图形, 保