2.4 线段的垂直平分线-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

数学　八年级　上册 ５８　 0  0 ２．４　线段的垂直平分线M > M M  > M   > M (１)线段的垂直平分 线是一条直线,不是线段 或射线． (２)线段是轴对称图 形,它的垂直平分线就是 它的一条对称轴． C.U E 6 EU , 3U 3% 线段垂直平分线 上 的 任 意一点都具有到线段两端的 距离相等这个性质,与该点在 这条垂直平分线上的位置无关． 知识点一　 线段的垂直平分线 １．线段垂直平分线的定义 文字语言 数学语言 图示 垂直并且平分 一条线段的直 线叫做这条线 段的垂直平分 线 点 O 为线段AB 的 中 点,直 线 CD ⊥ AB,垂足为点O,则 直线 CD 就 是 线 段 AB 的垂直平分线 A O B C D ２．线段垂直平分线的性质及判定 性质 判定 图示 文 字 语 言 线段垂直平分线 上的点到线段两 端的距离相等 到线段两端距离 相等的点在线段 的垂直平分线上 数 学 语 言 因为直线CD 垂 直平分AB,点E 在直线CD 上,所 以AE＝BE 因为AE＝BE, 直线CD 垂直平 分 AB,所 以 点 E 在直线CD 上 作 用 说明线段相等 说明点在直线上 A D CE B ３．线段垂直平分线的性质与判定之间的关系   4@ 4@ %3 +,3 %3 0+C.,0 B  A B D E C 图２．４Ｇ１ 【例１】如图２．４Ｇ１,在△ABC 中,AD 是高,在线段 DC 上取一点E,使 BD＝DE,已知 AB＋BD＝DC． 试说明:点E 在线段AC 的垂直平 分线上． 第２章　图形的轴对称 ５９　 0  0 解 因为AD 是高,所以AD⊥BC． 又因为BD＝DE, 所以AD 所在的直线是线段BE 的垂直平分线, 所以AB＝AE,所以AB＋BD＝AE＋DE． 又因为AB＋BD＝DC,所以DC＝AE＋DE, 所以DE＋EC＝AE＋DE,所以EC＝AE, 所以点E 在线段AC 的垂直平分线上． 4 线段垂直平分线的性质和判定的综合应用 　　先利用线段垂直平分线的性质得到线段相等, 再进行等量代换,最后利用线段垂直平分线的判定 得出结论,也可以利用三角形全等来说明点在线段 的垂直平分线上． 知识点二　用尺规作线段的垂直平分线 A B C D 图２．４Ｇ２ １．作法 如图２．４Ｇ２,已知线段AB,作出线段AB 的垂直平分线,作法如下: (１)分别以点A,B 为圆心,以大于 １ ２AB 的长为半径作弧,两弧分别交于 C,D 两点． (２)过C,D 两点作直线CD,则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线． ２．应用 根据线段的垂直平分线的作法既可以确定线段的中 点,又可以作出线段(直线)的垂线． 【例２】如图２．４Ｇ３,以B 为公共端点的两条线段AB,BC． (１)用尺规作图的方法分别作出线段AB,BC 的垂直 平分线l和m(保留作图痕迹,不写作法)． 图２．４Ｇ３ (１)线段的垂直平分线可 以看成是由所有与线段两端 距离相等的点组成的． (２)三角形三边的垂直平 分线相交于一点,这一点到三 角形三个顶点的距离相等．   > M (１)尺规作图规定的工具 只有直尺(无刻度)和圆规,应 尽量避免误差． (２)弧的半径之所以要大 于 １ ２AB ,是 因 为 只 有 大 于 １ ２AB ,两 条 弧 才 会 有 两 个 交 点,然后由“两点确定一条直 线”画出线段的垂直平分线． (３)CD 是 直 线,不 要 画 成线段． (４)注意保留作图痕迹． 数学　八年级　上册 ６０　 0  0 图２．４Ｇ５ 图２．４Ｇ６ 　　因为点与直线的位置关 系有点在直线上和点在直线 外两种情况,所以过一点作已 知直线的垂线需分情况讨论． 图２．４Ｇ８ (２)若(１)中l与m 的交点为P,连接PA,PB,PC, 则这三条线段的大小有何关系? 为什么? 解 (１)如图２．４Ｇ４． A B C m l P 图２．４Ｇ４ (２)PA＝PB＝PC．理由如下: 如图２．４Ｇ４,因为l是AB 的垂直平分线,点P 在直线 l上,所以PA＝PB． 同理,PB＝PC,所以PA＝PB＝PC． 知识点三　过一点作已知直线的垂线 １．已知直线l和l上一点P,过点P 作直线l的垂线． 作法:①如图２．４Ｇ５所示,以点P 为圆心,以任意长为 半径作弧,与直线l相交于点A 和点B; ②作线段AB 的垂直平分线CD． 直线CD 就是过点P 的直线l的垂线． ２．已知直线l和l外一点P,过点P 作直线l的垂线． 作法:①如图２．４Ｇ６所示,任意取一点K,使点K 和点 P 分别在直线l的两侧; ②以点P 为圆心,PK 的长为半径作弧,与直线l相 交于点A 和点B; ③作线段AB 的垂直平分线C