1.2 集合间的关系（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的关系（精讲） 一．子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB(或BA) 集合 相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 4.子集的个数 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集有2n个； (2)A的非空子集有(2n－1)个； (3)A的真子集有(2n－1)个； (4)A的非空真子集有(2n－2)个. 二．空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集 2.记作：∅ 3.规定:空集是任何集合的子集，即∅⊆A 4.特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； (2)若A≠∅，则∅A 5.区分：0，{0}，∅与{∅}之间的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 一．判断集合关系的方法 1.观察法：一一列举观察. 2.元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 3.数形结合法：利用数轴或Venn图. 二.求给定集合的子集的两个注意点： 1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； 2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 三．由集合间的关系求参数 1.若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程． 2.若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示． 3.注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. 考点一 集合间的关系 【例1-1】（2023·江苏）设集合，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2022·广西桂林）已知集合，则下列关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·北京）已知集合，，则（    ） A．⫋ B． C． D． 2．（2022秋·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）. A． B． C． D． 3．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 考法二 空集 【例2-1】（2023安徽）下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2022·上海）下列命题中正确的是（    ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 【一隅三反】 1．（2023·天津）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2023·北京）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023·河南）下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考法三 （真）子集的个数 【例3-1】（2022秋·江苏扬州）已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【例3-2】（2023·海南）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【一隅三反】 1．（2023·江苏南京）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（2023·新疆）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·河南开封）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 考法四 已知集合关系求参数 【例4-1】（2023·