1.1 集合的概念及特征（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

1.1 集合的概念及特征（精讲） 一．元素与集合的概念 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 3.集合中的元素具有如下三个特性： (1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合． (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． (3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．　 　　 4.元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A a∉A “a不属于A” 5.常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 6.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合 二．集合的表示方法 1.列举法 (1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. (2)使用说明 ①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序. ②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. ③无限集有时也可用列举法表示. 2.描述法 (1)定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. (2)使用说明 ①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}. ②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}. 3． 集合的分类 1、 有限集：集合的元素有限个 2、 无限集：集合的元素无限个 一．集合概念的理解 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，每个元素是否互异。 二．判断元素和集合关系的两种方法 1.直接法：集合中的元素是直接给出的. 2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 三．元素的互异性求参数 1.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值 2.根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验. 注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用. 四．集合的表示方法 1.用列举法表示集合 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素. (2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. （3）使用列举法表示集合时的注意事项 ①元素间用逗号隔开； ②元素不能重复(互异性)； ③元素之间不用考虑先后顺序(无序性)； ④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数所构成的集合可表示成{1,2,3，…，100}； ⑤“{　}”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，但如果写成{实数集}或{全体实数}就是错误的； ⑥对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法． 2.利用描述法表示集合 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}. (2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}. (3)不能出现未被说明的字母. 考点一 集合概念的理解 【例1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【一隅三反】 1．（2023·北京）下列各对象可以组成集合的是（    ） A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师 2．（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）． ①所有的好人； ②平面上