26.2.2 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

２．二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象与性质 知识点一　二次函数y＝ax２＋k的图象与性质 二次函数y＝ax２＋k的图象与性质 y＝ax２＋k a＞０ a＜０ k＞０ k＜０ k＞０ k＜０ 图象 O x y O x y 开口 方向 向上 向下 顶点 坐标 (０,k) 对称轴 y 轴(直线x＝０) 增减性 当x＜０时,函数值y 随x 的增大而减小;当 x＞０时,函数值y 随x 的增大而增大 当x＜０时,函数值y 随x 的增大而增大;当 x＞０时,函数值y 随x 的增大而减小 最值 最小值为k,无最大值 最大值为k,无最小值 抛物线y＝ax２＋k与y＝ax２ 之间的平移规律 二次函数y＝ax２＋k 的图象与二次函数y＝ax２ 的 图象的形状相同,将抛物线y＝ax２ 沿y 轴向上或向 下平移|k|个单位便得到抛物线y＝ax２＋k,如图 ２６．２．２Ｇ１所示． 'F 二次函数y＝ax２＋k 的增 减性 可 简 记 为“开 口 向 上, 左减 右 增;开 口 向 下,左 增 右减”．   > M 'F (１)a 决定抛物线的开口方 向和开口大小,故二次函数 y＝ax２ 和y＝ax２＋k(k≠ ０)的 图 象 开 口 方 向 和 开 口 大小相同,只是位置不同． (２)从抛物线y＝ax２ 到抛 物线y＝ax２＋k 的平移由k 决定,其中k 的符号决定抛 物线是向上还是向下平移, |k|决 定 抛 物 线 平 移 的 距 离,平 移 规 律 可 简 记 为“上 下平移,上加下减”． ９１ 上下平移,上加下减 图２６．２．２Ｇ１ 　　 【例１】已知抛物线y＝２x２－３． (１)它的开口向　　　　,对称轴为　　　　,顶点坐 标为　　　　． (２)把y＝２x２ 的图象沿　　　向　　　平移　　　　 个单位可得抛物线y＝２x２－３． (３)若点(－４,y１)、(－１,y２)在抛物线y＝２x２－３上, 则y１　　　　y２(填“＞”“＜”或“＝”)． 解析:(１)在y＝２x２－３ 中,a＝２,k＝－３,结 合y＝ ax２＋k 的图象与性质可知,其开口向上,对称轴为y 轴,顶点坐标为(０,－３)． (２)y＝２x２－３的图象与y＝２x２ 的图象的形状、开口 方向都相同,只是位置不同,抛物线y＝２x２－３是由抛 物线y＝２x２ 沿y 轴向下平移３个单位得到的． (３)方法１:把点的坐标代入关系式,得y１＝２９,y２＝ －１, 所以y１＞y２． 方法２:点(－４,y１)、(－１,y２)都在对称轴的左侧,函 数值y 随x 的增大而减小,由－４＜－１可知,y１＞y２． 答案:(１)上　y 轴　(０,－３) (２)y 轴　下　３ (３)＞ 多法并用比较二次函数值的大小 方法１:可以把自变量的值代入求得函数值后比较 大小; 方法２:可以根据二次函数的性质进行比较． ０２ 　知识点二　二次函数y＝a(x－h)２ 的图象与性质 二次函数y＝a(x－h)２ 的图象与性质 y＝a(x－ h)２ a＞０ a＜０ h＜０ h＞０ h＜０ h＞０ 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h,０) 对称轴 直线x＝h,当h＞０时,对称轴在y 轴的右侧;当 h＜０时,对称轴在y 轴的左侧 增减性 当x＜h 时,函数值y 随 x 的增大而减小;当x＞ h 时,函数值y 随x 的 增大而增大 当x＜h 时,函数值y 随 x 的增大而增大;当x＞ h 时,函数值y 随x 的增 大而减小 最值 当x＝h 时,y最小值 ＝０ 当x＝h 时,y最大值 ＝０ 抛物线y＝a(x－h)２ 与y＝ax２ 之间的关系 二次函数y＝a(x－h)２ 的图象与二次函数y＝ax２ 的图象的形状相同,将抛物线y＝ax２ 沿x 轴向左或 向右平移|h|个单位便得到抛物线y＝a(x－h)２,如 图２６．２．２Ｇ２所示． 'F (１)学习二次函数y＝a(x－ h)２(a≠０)的 图 象 与 性 质 时,可 与 二 次 函 数y＝ax２ (a≠０)的图象与性质进行 对比． (２)二次函数y＝a(x－h)２ (a≠０)的图象与二次函数 y＝ax２(a≠０)的图象的形 状、开 口 方 向 完 全 相 同,只 不过位置发生了变化,顶点 坐标由(０,０)变成了(h,０)． 'F h 决定平移的方向 与 距 离． 从抛物线y＝ax２ 平移到抛 物线y＝a(x－h)２ 时,遵循 的平 移 规 律 是“左 右 平 移, 左加右减”． 左右平移,左加右减 １２   > M 'F 数形结合,好判断 二次函数y＝a(x－h)２ 的 性质 是 借 助 图 象 来 得 出 的,画出函数图象的草图, 有关图象平移、开口方向、 对称 轴、顶 点 坐 标 以 及 函 数增减性变化的问题就可 以直观求解了． 图２６．２．２Ｇ