26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

２６．２　二次函数的图象与性质 M  > M １．二次函数y＝ax２ 的图象与性质 'F 画函 数 图 象 时,要 注 意 以 下几点: (１)列表时,自变量的取值 应注 意 统 筹 兼 顾,既 要 使 自变量的取值有一定的代 表性,又 不 至 于 使 自 变 量 所对应的函数值太大或太 小,以 便 于 描 点 和 全 面 反 映图象情况; (２)因 为 抛 物 线 是 轴 对 称 图形,所以作图选点时,一 般应 先 找 出 对 称 轴,再 以 对称 轴 为 中 心,自 变 量 向 两侧 对 称 取 值,以 保 证 抛 物线的对称性、美观性; (３)一般情况下,描出的点 越多,图象越准确．而在日 常学 习 中,为 了 快 速 准 确 地作 出 抛 物 线 的 图 象,往 往采 用“五 点 法”,即 找 出 顶点,以顶点为中心在左、 右两侧取两组对称的点; (４)在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系内 画 多 个 图 象 时,要 在 恰当 的 位 置 标 明 函 数 关 系式． 知识点一　二次函数y＝ax２ 的图象的画法 图象的画法 图象的形状及顶点 二次函数y＝ax２ 的图象是一条抛物线,它是轴对称 图形,y 轴是它的对称轴．抛物线与它的对称轴的交点 叫做抛物线的顶点． 【例１】在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝３x２, y＝ １ ４x ２,y＝４x２ 的图象,并比较这些图象的相同点和 不同点． 图２６．２．１Ｇ１ 解:列表: x 􀆺 －２－１ ０ １ ２ 􀆺 y＝３x２ 􀆺 １２ ３ ０ ３ １２ 􀆺 y＝ １ ４x ２ 􀆺 １ １４ ０ １ ４ １ 􀆺 y＝４x２ 􀆺 １６ ４ ０ ４ １６ 􀆺 描点、连线,得图象如图２６．２．１Ｇ１． 相同点:①三个函数的图象都是抛 物线;②三条抛物线的顶点相同, 其坐标都是(０,０);③三条抛物线的 ０１ 对称轴相同,都为y 轴;④三条抛物线的开口方向相 同,开口方向都向上． 不同点:三条抛物线的开口大小不同． 连线有方法,形状有特点 连线时,必须按照自变量由小到大(或由大到小) 的顺序用光滑的曲线依次连结,切忌用线段连结或漏 点、跨点连结;二次函数y＝ax２ 的图象是光滑的抛物 线,向开口方向无限延伸,顶点处切不可画成尖形的． 知识点二　二次函数y＝ax２ 的图象与性质 函数 a的 取值 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 增减性 最值 y＝ax２ (a≠０) a＞０ 向上 (０,０)y 轴 当x＞０时,函 数值y 随x 的 增大而增大;当 x＜０ 时,函 数 值y 随x 的增 大而减小 当 x ＝０ 时,y最小值 ＝０ a＜０ 向下 (０,０)y 轴 当x＞０时,函 数值y 随x 的 增大而减小;当 x＜０ 时,函 数 值y 随x 的增 大而增大 当 x ＝０ 时,y最大值 ＝０ 【例２】已知抛物线y＝ax２ 经过点(２,－１２)． (１)求a 的值,并判断抛物线的开口方向、对称轴、顶 点坐标及函数值的变化情况; (２)判断点(－１,－４)是否在此抛物线上． 解:(１)将(２,－１２)代入y＝ax２,得－１２＝４a, 解得a＝－３． 因为a＝－３＜０, 所以抛物线的开口向下,对称轴为y 轴,顶点坐标为 (０,０)． %"*+A A+FU D+Ux  UA   K+   > M a的正负决定抛物线的开口 方向． 'F (１)|a|的大小决定抛物线 的开口大小,|a|越大,开口 越小;|a|越小,开口越大． (２)由于抛物线y＝ax２ 只 有一个待定系数a,故要确 定抛 物 线 y＝ax２ 的 关 系 式,只需知道一组x,y 的对 应值或图象上一点的坐标, １１ 代入y＝ax２ 即可求得a 的值． (３)抛物线顶点坐标为(０, ０)的二次函数关系式的形 式为y＝ax２(a≠０)． 当x＞０时,函数值y 随x 的增大而减小; 当x＜０时,函数值y 随x 的增大而增大． (２)由(１)知y＝－３x２,当x＝－１时,y＝－３, 所以点(－１,－４)不在此抛物线上． 巧借图形,妙解y＝ax２ 的性质问题 当确定a 的值后,抛物线y＝ax２ 的关系式及性 质也就确定了．如果你记不准这么多性质的话,不妨画 个草图,通过数形结合,能帮你快速准确地解答问题． １．已 知 函 数 y ＝ (m ＋ ３)xm ２＋３m－２是 关 于 x 的 二次函数． (１)求m 的值． (２)当m 为何值时,该函 数图象的开口向下? 题型一　二次函数y＝ax２ 的图象与性质 【例１】已知函数y＝(n＋２)xn２＋n－４是关于x 的二次 函数． (１)求满足条件的n 的值; (２)求当n 为何值时,抛物线有最低点,