27.4 正多边形和圆-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

M  > M ２７．４　正多边形和圆 'F (１)边 数 为 偶 数 的 正 多 边 形既 是 轴 对 称 图 形,又 是 中心 对 称 图 形,它 的 中 心 就是对称中心． (２)边 数 为 奇 数 的 正 多 边 形是 轴 对 称 图 形,但 不 是 中心对称图形． 知识点一　正多边形及其对称性 正多边形必须同时满足两个条件 正多边形的对称性 正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形有n 条对称 轴,且各条对称轴相交于一点,这点到正多边形的各个 顶点的距离相等,到各边的距离也相等． 【例１】下列图形中,是正多边形的是 (　　) A．等腰三角形　　　　　B．长方形 C．正方形 D．五条边都相等的五边形 解析:正多边形需要同时满足各边相等和各角相等,四个 选项中,只有正方形的四条边都相等,四个角都是相等 的直角．故选C． 答案:C 知识点二　正多边形和圆的关系 正多边形和圆的关系 (１)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆; (２)把圆分成n(n＞２)等份,依次连结各分点所得的多 边形是这个圆的一个内接正n 边形． 正多边形的相关概念 ８５１ 与正多边形有关的计算公式(拓展) 名称 公式 内角 正n 边形的每个内角为 (n－２)􀅰１８０° n 中心角 正n 边形的每个中心角为 ３６０° n 外角 正n 边形的每个外角为 ３６０° n 边心距 正n 边形的边心距r＝ R２－ ( an ２ ) ２ (R 是半径,an 是边长) 周长 正n 边形的周长l＝nan(an 是边长) 面积 正n 边形的面积S＝ １ ２lr (l是正n 边形的周长,r是正n 边形的边心距) 【例２】如图２７．４Ｇ２,☉O 是一个正多边形的外接圆,该 正多边形的半径为 ２,边心距为１,求这个正多边形 的中心角、边长、内角、周长和面积． 图２７．４Ｇ２ 　　　　 图２７．４Ｇ３ 解:如图２７．４Ｇ３所示,连结OB． 由题意,可知OA＝ ２,OM⊥AB,且OM＝１． 在Rt△AOM 中,AM＝ OA２－OM２ ＝１, 所以AB＝２,AM＝OM, 所以△AMO 是等腰直角三角形, 所以∠AOM＝４５°,所以∠AOB＝２∠AOM＝９０°． 设该正多边形的边数为n,则 ３６０° n ＝９０° ,所以n＝４． 所以该正多边形是正方形． 所以正方形的周长为２×４＝８,正方形的面积为２×２＝４． 所以这个正方形的中心角为９０°,边长为２,内角为 ９０°,周长为８,面积为４． 'F (１)在解决正n 边形的有关 计算问题时,通过作正n 边 形的半径和边心距,把正n 边形 分 成 ２n 个 直 角 三 角 形,再利用勾股定理即可完 成计算． 如图 ２７．４Ｇ１,在 Rt△OAM 中,OA２ ＝OM２ ＋AM２,即 R２＝r２＋ ( a ２ ) ２ ． 图２７．４Ｇ１ (２)正六边形和正方形中的 计算,往往连结相邻两条半 径使 其 与 边 分 别 构 成 等 边 三角形和等腰直角三角形．  正六 边 形 的 边 长 等 于 其 外 接圆的半径,正三角形的边 长等于其外 接 圆 半 径 的 ３ 倍,正方形的边长等于其外 接圆半径的 ２倍． ９５１  (１)正八边形的画法:在正 四边形的基础上用直尺和 圆规分别作与正四边形相 邻两 边 垂 直 的 直 径,即 可 作正 八 边 形,如 图 ２７．４Ｇ４ 所示． 图２７．４Ｇ４ (２)正十二边形的画法:在 正六边形的基础上用直尺 和圆规分别作与正六边形 相邻 三 边 垂 直 的 直 径,即 可 作 正 十 二 边 形,如 图 ２７．４Ｇ５所示． 图２７．４Ｇ５ 知识点三　圆的内接正多边形的画法(拓展) 依据 在圆中,相等的圆心角所对的弧相等 关键 将圆分成n 等份 方法 用 量 角 器 首先用量角器画一个３６０° n 的圆 心角,这个角所对的弧就是圆 周的１ n ,然后在圆周上依次截 取与这条弧相等的弧,就得到 圆周的n 等分点,依次连结n 等分点,就得到半径为r的正n 边形 尺 规 作 图 法 正 四 边 形 (１)用直尺任作圆的一条直 径AC; (２)作与直径AC 垂直的直 径BD; (３)顺次连结所得的圆上四 点,则四边形 ABCD 即为 所求作的正方形 正 六 边 形 方法１:(１)用直尺任作圆的 一条直径AD; (２)以点 A 为圆心、OA 为 半径 作 圆,与 ☉O 交 于 点 B、F; (３)以点 D 为圆心、OD 为 半径 作 圆,与 ☉O 交 于 点 C、E; (４)顺次连结所得圆上 六 点,则六边形 ABCDEF 即 为所 求 作 的 正 六 边 形,如 图①． 方法２:从圆上某一点开始, 依次以圆的半径长为半径 作圆,也可以作出圆的内接 正六边形,如图② ① ② ０６１ 图２７．４Ｇ６ 【例