27.3 圆中的计算问题-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

２７．３　圆中的计算问题 'F (１)在弧长公式中,n 表示 １°的圆心角的倍数,在应用 公式计算时,“n”和“１８０” 不写单位． (２)在弧长公式中,l 表示 弧的 长 度,它 的 单 位 与 半 径r的单位一致． 知识点一　弧长的计算公式 推导 因为３６０°的圆心角所对的弧长就是圆周长２πr,据此 可得１°的圆心角所对的弧长是 １ ３６０ 􀅰２πr;２°的圆心角 所对的弧长是 ２ ３６０ 􀅰２πr;􀆺􀆺;n°的圆心角所对的弧长 为 n ３６０ 􀅰２πr,即 nπr １８０． 计算公式 如果弧长为l,圆心角为n°,圆的半径为r,那么弧长为 l＝ nπr １８０． 【例１】若扇形的半径为６,圆心角为１２０°,则此扇形的弧 长是　　　　． 解析:根据弧长公式,得l＝ １２０×π×６ １８０ ＝４π． 答案:４π 使用弧长公式的两点注意 (１)在弧长公式中,已知l、n、r 中任意两个量,可以 求出第三个量． (２)若题目中没有标明精确度,用含 π的式子表示 弧长． 知识点二　扇形面积的计算公式 半径为r,圆心角为n°的扇形的面积 半径为r的圆的面积是πr２,所以圆心角为１°的扇形 ２４１ 的面积为圆的面积的 １ ３６０ ,即πr ２ ３６０． 如果扇形的半径为r, 圆心角为n°,那么扇形面积的计算公式为S扇形 ＝ nπr２ ３６０． 半径为r,弧长为l的扇形的面积 因为扇形的弧长l＝ nπr １８０ , 所以S扇形 ＝ nπr２ ３６０＝ nπr １８０ 􀅰r ２＝ １ ２lr． 因此,如果扇形所对的弧长为l,扇形的半径为r, 那么扇形面积的计算公式为S扇形 ＝ １ ２lr． 【例２】(１)半径为１２,圆心角为３０°的扇形的面积是 (　　) A．３π　　　　　　　　　　B．６π C．９π D．１２π (２)已知扇形的半径为３cm,扇形的弧长为πcm,则 该扇形的面积是　　　　cm２． 解析:(１)S扇形 ＝ ３０π×１２２ ３６０ ＝１２π． (２)S扇形 ＝ １ ２×３π＝ ３ ２π (cm２)． 答案:(１)D (２) ３ ２π 根据条件,灵活选择公式计算扇形面积 (１)当已知半径r 和圆心角的度数n 求扇形的面积 时,选用公式S扇形 ＝ nπr２ ３６０． (２)当已知半径r和弧长l求扇形的面积时,选用公式 S扇形 ＝ １ ２lr． 'F (１)扇形面积公式中的n 与 弧长公式中的n 一样,不带 单位． (２)已 知 S扇形 、l、r、n 四 个 量中的任意两个,都可以求 出另外两个．  扇形 的 面 积 公 式 S＝ １ ２lr 与三 角 形 的 面 积 公 式 十 分 相似,可 以 类 比 记 忆．如 图 ２７．３Ｇ１,只要把扇形看成一 个等腰三角形,把弧长l 看 成 底,r 看 成 底 边 上 的 高 即可． 图２７．３Ｇ１ ３４１ 'F 圆锥 的 母 线、高 和 底 面 圆 的半径构成一个直角三角 形．设母线长为a,底面 圆 的半径为r,高为h,则 这 三个量之间的数量关系满 足勾股定理:r２＋h２＝a２, 已知 其 中 任 意 两 个 量,就 可求出第三个量． 知识点三　圆锥及其相关概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:我们现阶段所说的圆锥,均可以看作由直角 三角形绕一条直角边旋转得到,它的轴经过底面圆 的圆心,并且垂直于底面圆的任意一条半径． 【例３】一个圆锥的底面圆的直径为１０cm,母线长为 １５cm,求这个圆锥的高． 解:如图２７．３Ｇ２所示． 图２７．３Ｇ２ 因为BC＝１０cm,所以OB＝５cm． 因为∠AOB＝９０°,AB＝１５cm, 所以OA＝ AB２－OB２ ＝ １５２－５２ ＝１０２(cm), 即这个圆锥的高为１０２cm． 知识点四　圆锥、圆柱的侧面积和全面积 图２７．３Ｇ３ 圆锥的展开图 如图 ２７．３Ｇ３,圆锥是由一个圆面 (底面)和一个曲面(侧面)围成的, 侧面展开在平面上是一个扇形,其 中包含两个对应关系: (１)扇 形 的 半 径 等 于 圆 锥 的 母 线长; (２)扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长． ４４１ 圆锥的侧面积和全面积(拓展) 圆锥的 侧面积 设圆锥的母线长为a,底面圆的半 径为r,那么圆锥侧面展开图(扇 形)的 半 径 为a,扇 形 的