27.2.2 直线与圆的位置关系＆27.2.3 切线-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

２．直线与圆的位置关系 ３．切　线 知识点一　直线与圆的位置关系 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 ０ １ ２ 圆 心 到 直 线 的 距 离 d 与半径r 的关系 d＞r d＝r d＜r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线l 与 ☉O 相离⇔d＞r 直线l 与 ☉O 相切⇔d＝r 直 线l 与 ☉O 相交⇔d＜r 【例１】已知Rt△ABC 的斜边AB＝６cm,直角边AC＝ ３cm．以点C 为圆心, ３３ ２ cm 长为半径的圆和AB 的 位置关系是 ;以点B 为圆心,３cm 长为半径 的圆和AC 的位置关系是 ;如果以点A 为圆 心的圆和BC 相切,那么该圆的半径长为 ． 解析:由勾股定理,得 BC＝ AB２－AC２ ＝ ６２－３２ ＝ ３３(cm),   > M " 判断直线与圆的位置关系 的两种方法 (１)根 据 定 义,由 直 线 与 圆 的公共点的个数判断． (２)根据直线与圆的位置关 系,由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系判断． 在实际应用中,常采用这种 方法． １２１ 'F 运用圆的切线的判定定理 时,已 知 直 线 应 满 足 两 个 条件: (１)经过半径外端; (２)垂直于这条半径． 缺 少 其 中 任 何 一 个 条 件, 均 可 能 产 生 错 误,如 图 ２７．２．２Ｇ３所示,直线l均不 是☉O 的切线． ① 　 ② ③ 图２７．２．２Ｇ３ 所以Rt△ABC 斜边AB 上的高是 ３×３３ ６ ＝ ３３ ２ (cm)． 所以 以 点 C 为 圆 心, ３３ ２ cm 长 为 半 径 的 圆 和 AB 相切． 因为３＜３３, 所以以点B 为圆心,３cm 长为半径的圆和AC 相离． 当以点A 为圆心的圆与BC 相切时,半径长为３cm． 答案:相切　相离　３cm 知识点二　切线的判定定理 圆的切线的判定定理 图２７．２．２Ｇ１ (１)文字语言:经过圆的半径的外端且 垂直于这条半径的直线是圆的切线． (２)符号语言:如图２７．２．２Ｇ１,若OA 是 ☉O 的半径,直线l经过点A,且OA⊥ l,则l是☉O 的切线． 过圆上一点画圆的切线的步骤 图２７．２．２Ｇ２ 已知☉O 和☉O 上一点A,求作过点A 的☉O 的切线． 作法:如图２７．２．２Ｇ２． (１)连结OA; (２)过点A 作直线l与OA 垂直,则直 线l就是☉O 的切线． 【例２】如图２７．２．２Ｇ４,已知点E 在△ABC 的边AB 上, ∠C＝９０°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,且点D 在 以AE 为直径的☉O 上．求证:BC 是☉O 的切线． 图２７．２．２Ｇ４ 　　 图２７．２．２Ｇ５ 证明:如图２７．２．２Ｇ５,连结OD． ２２１ 因为∠BAC 的平分线交BC 于点D, 所以∠１＝∠２． 因为OA＝OD, 所以∠１＝∠３． 所以∠２＝∠３, 所以OD∥AC． 因为∠C＝９０°,所以∠ODC＝９０°． 所以OD⊥BC． 所以BC 是☉O 的切线． 【例３】如图２７．２．２Ｇ６,在 Rt△ABC 中,∠B＝９０°,∠A 的平分线交BC 于点D,以D 为圆心,DB 的长为半 径作☉D． 求证:AC 与☉D 相切． 图２７．２．２Ｇ６ 　　　　 图２７．２．２Ｇ７ 证明:如图２７．２．２Ｇ７,过点D 作DF⊥AC 于点F． 因为∠B＝９０°, 所以DB⊥AB． 因为AD 平分∠BAC, 所以BD＝DF, 所以AC 与☉D 相切． 选择合适方法,证明切线不用愁 (１)如果已知直线过圆上一点,那么连结这点和圆心, 得到半径,证明这条半径垂直于已知直线即可,简记 为“有交点,连半径,证垂直”． (２)如果已知直线与圆没有明确公共点,那么过圆心 作已知直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径即 可,简记为“无交点,作垂线,证半径”． " 切线的三种判定方法 (１)定 义 法:与 圆 有 唯 一 公 共点的直线是圆的切线; (２)距 离 法:若 圆 心 到 直 线 的距离等于半径,则该直线 是圆的切线; (３)定 理 法:经 过 圆 的 半 径 的外 端 且 垂 直 于 这 条 半 径 的直线是圆的切线． ３２１ 知识点三　切线的性质定理 文字语言 圆的切线垂直于经过切点的半径 符号 语言 　　　OA 是☉O 的半径 l是过点A 的☉O 的切线}⇒OA⊥l 【例４】如图２７．２．２Ｇ８,AB 是☉O 的弦,AC 是☉O 的切 线,A 为切点,BC 经过圆心．若∠B＝２０°,则∠C 的大 小等于 (　　) A．２０°　　　　B．２５°　　　　C．４０°　　　　D．５０° 图２７．２．２Ｇ８ 　　 图２７．２．２Ｇ９ 解析:如图２７．２．２Ｇ９,连结OA． 因为AC 是☉O 的切线,所以∠１＝９０°