27.2.1 点与圆的位置关系-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

M  > M ２７．２　与圆有关的位置关系 １．点与圆的位置关系   > M 'F (１)一 个 圆 把 平 面 上 的 点 分成三类,即圆上的点、圆 内的点、圆外的点． (２)利用点到圆心的距离d 与半径r的数量关系,可以 判 断 点 和 圆 的 位 置 关 系; 同样,知 道 了 点 和 圆 的 位 置关系,也可以确定d 与r 的数量关系．这种数量与图 形位置的相互对应关系是 数形结合思想的具体体现． 知识点一　点与圆的位置关系 【例１】如图２７．２．１Ｇ１,在 Rt△ABC 中,∠ACB＝９０°, CD⊥AB,AC＝３,BC＝４．若以C 为圆心,３为半径作 ☉C,判断点A、B、D 与☉C 的位置关系． 图２７．２．１Ｇ１ 解:由题意,知☉C 的半径r＝３． 因为AC＝３＝r, 所以点A 在☉C 上． 因为BC＝４＞r, 所以点B 在☉C 外． 在Rt△ABC 中,∠ACB＝９０°,由勾股定理,得 AB＝ AC２＋BC２ ＝ ３２＋４２ ＝５． 因为CD⊥AB, 所以S△ABC＝ １ ２AB 􀅰CD． 因为∠ACB＝９０°,所以S△ABC＝ １ ２AC 􀅰BC． ８０１ 所以１ ２AB 􀅰CD＝ １ ２AC 􀅰BC,得CD＝ １２ ５＜r , 所以点D 在☉C 内． 　　判断一个点和圆的位置关系时,首先要根据条件 计算出点到圆心的距离,然后将这个距离与圆的半径 进行比较,从而得出结论． 知识点二　圆的确定 条件 依据及作法 图示 结论 过一点 作圆　 经过一点 A 作圆,以点 A 以 外的任意一点为圆心,以这一 点与点A 的距离为半径作圆 即可,这样的圆有无数个 A 过一点 能作无 数个圆 过两点 作圆　 经过两点 A、B 作圆,只要以 与点A、B 距离相等的点为圆 心,即以线段AB 的垂直平分 线上任意一点为圆心,以这一 点与点 A(或点B)的距离为 半径作圆即可,这样的圆有无 数个 A B 过两点 能作无 数个圆 过不在 同一条 直线上 的三点 作圆　 经过不在同一条直线上的三 点A、B、C 作圆,圆心到这三 点的距离相等,因此,圆心在 线段 AB,BC 的垂直平分线 的交点O 处,以OA(或OB 或 OC)为半径可作出经过A、B、 C 三点的圆,这样的圆有且只 有一个 不在同 一条直 线上的 三个点 确定一 个圆　 【例２】图２７．２．１Ｇ３是一块破损的圆形模板,木工师傅想 要把它复原,需要知道它的圆心,请你用所学的知识 帮助木工师傅解决这个问题． 'F 结论 中 “确 定”是 “有 且 只 有”的 意 思,既 说 明 圆 的 存 在性,又说明圆的唯一性． 经过同一条直线上的三点 不能作圆． 不在同一条直线上的三个 点确定一个圆． ９０１  过任意四点作圆的方法 过任意四点不一定能作出 圆．要想过四点作圆,应先 作出经过不在同一条直线 上的 三 点 的 圆,若 第 四 个 点到 圆 心 的 距 离 等 于 半 径,则第四个点在圆上,否 则不在圆上． 如图２７．２．１Ｇ２所示,点 D１ 到 圆 心 的 距 离 等 于 半 径, 则点D１在圆上;点D２、D３ 到圆 心 的 距 离 不 等 于 半 径,则点D２、D３不在圆上． 图２７．２．１Ｇ２ 'F “三角 形 的 外 接 圆”和“圆 的内接三角形”中,“接”是 说明三角形的顶点与圆的 关系,圆 经 过 三 角 形 的 各 顶点或三角形的各顶点都 在圆上,而“内”“外”是 相 对位 置 关 系,是 以 一 个 图 形为 准,说 明 另 一 个 图 形 在它的里面或外面． 图２７．２．１Ｇ３ 解:如图２７．２．１Ｇ４,在弧上任取三点A、B、C,连结AB、 AC．分别作AB、AC 的垂直平分线l１、l２,两直线相交 于点O,则点O 就是该圆形模板的圆心． 图２７．２．１Ｇ４ “破镜重圆”问题———确定圆心的方法 　　对于已知圆上的某段弧,作出整个圆的问题,实 质上属于确定圆心的问题,解决此类问题的方法是在 圆弧上任意找三点,形成两条线段,则这两条线段垂 直平分线的交点就是圆心,圆心到圆弧上任意点的距 离就是半径,圆心和半径确定了,圆就可以轻松画出 来了． 知识点三　三角形的外接圆 三角形的外接圆和圆的内接三角形 如图２７．２．１Ｇ５,☉O 经过△ABC 的三个顶点,☉O 就 叫做△ABC 的外接圆．△ABC 叫做☉O 的内接三角 形,圆心O 叫做△ABC 的外心． 图２７．２．１Ｇ５ ０１１ 三角形外心的位置与性质(拓展) 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外 心 在 三 角 形 内部 外心是三角形斜 边的中点 外心 在 三 角 形 外部 确定 方法 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点, 所以只需要作任意两边的垂