27.1.2 圆的对称性-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

２．圆的对称性 知识点一　圆的对称性 【例１】世界上因为有了圆的图案,很多事物才显得富有 生机,如图２７．１．２Ｇ１a、b、c所示的是来自现实生活中 的圆．它们看上去那么美丽和谐,这正是因为圆具有 轴对称性和中心对称性． d e 图２７．１．２Ｇ１ (１)图２７．１．２Ｇ１a、b、c三个图形中,是轴对称图形的是 　　　　,是中心对称图形的是　　　　(分别用三 个图的代号a、b、c填空)． (２)请你在图２７．１．２Ｇ１d、e两个圆中,按要求分别画出 与图a、b、c不重复的图案: d e 图２７．１．２Ｇ２ d是轴对称图形但不是中心对称图形; e既是轴对称图形又是中心对称 图形． 解:(１)a、b、c　a和c (２)答案不唯一,如图２７．１．２Ｇ２ 所示． 'F (１)圆 有 无 数 条 对 称 轴,但 只有一个对称中心(圆心)． (２)轴对称图形的对称轴是 一条直线,因此直径不是圆 的对称轴,直径所在的直线 才是圆的对称轴． ３８ 'F (１)千万不要忽略“在同圆 或等圆中”这个前提条件, 否则结论不一定成立．如图 ２７．１．２Ｇ３,∠AOB＝∠COD, 但AB︵≠CD︵,AB≠CD． 图２７．１．２Ｇ３ (２)相 等 的 弦 所 对 的 弧 必 须同 为 优 弧 或 同 为 劣 弧 时,两弧才能相等,否则不 相等． 知识点二　圆心角、弦、弧之间的关系 【例２】如图２７．１．２Ｇ４,O 为等腰三角形ABC 的底边AB 的中点,以AB 为直径的半圆分别交AC、BC 于点D、 E,求证: (１)AD ︵ ＝BE ︵; (２)CD＝CE． C ED A O B 图２７．１．２Ｇ４ 证明:(１)因为AC＝BC,所以∠A＝∠B． 因为OA＝OD＝OE＝OB, 所以∠ODA＝∠A＝∠B＝∠OEB． 因为∠AOD＋∠ODA＋∠A＝１８０°, ∠BOE＋∠B＋∠OEB＝１８０°, 所以∠AOD＝∠BOE． 所以AD ︵ ＝BE ︵ ． (２)由(１),知∠AOD＝∠BOE,所以AD＝BE． 又因为AC＝BC, 所以AC－AD＝BC－BE,即CD＝CE． 　　在同圆或等圆中,当证明等弦、等角、等弧的问题 时,除利用全等三角形及其他相关的性质外,还要善 于利用圆心角、弦、弧三者之间的关系来证明． ４８ 知识点三　垂径定理及其推论 内容 数学语言 图示 垂径 定理 垂直于弦的直 径 平 分 这 条 弦,并 且 平 分 这条弦所对的 两条弧 CD 是直径 CD⊥AB }⇒ AM＝BM AC︵＝BC︵ AD︵＝BD︵ ì î í ï ï ï ï 垂径 定理 的推 论 平 分 弦 (不 是 直 径)的 直 径 垂 直 于 这 条 弦,并 且 平 分 这条弦所对的 两条弧 CD 是直径 AM＝BM(AB 不是直径) ü þ ý ïï ïï ⇒ CD⊥AB AC︵＝BC︵ AD︵＝BD︵ ì î í ï ï ï ï 平分弧的直径 垂直平分这条 弧所对的弦 CD 是直径 AC︵＝BC︵(或 AD︵＝BD︵) ü þ ý ï ï ï ï ⇒ CD⊥AB AM＝BM{ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:理解垂径定理时,要注意: (１)垂径定理中的“直径”可以是直径、半径或过圆 心的直线,其本质是“过圆心”． (２)垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍成立． (３)垂径定理为证明线段相等、弧相等提供了重要 依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的 方法和理论依据． 【例３】如图２７．１．２Ｇ５,AB 是☉O 的直径,弦CD⊥AB, 垂足为点 M,下列结论不一定成立的是 (　　) 图２７．１．２Ｇ５ A．CM＝DM　　　　　　　　B．CB ︵ ＝DB ︵ C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝BM   > M  对于一个圆和一条直线,如 果这 条 直 线 具 备 下 列 五 个 条件中的任意两个,那么一 定具备其他三个: (１)过圆心; (２)垂直于弦; (３)平分弦(非直径); (４)平分弦所对的劣弧; (５)平分弦所对的优弧．