26.3 实践与探索-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

２６．３　实践与探索 'F 建立恰当的平面直角坐标 系是 解 决 这 类 问 题 的 关 键,故 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 时 应 遵 循 以 下 两 个 原则: (１)所 建 立 的 平 面 直 角 坐 标系要使求出的二次函数 的表达式较简单; 知识点一　应用二次函数解决实际问题 常运用二次函数及其图象解决的两类问题 (１)由已知的二次函数表达式解决问题; (２)根据实际物体的模型或实际问题中的变量之间的 数量关系建立函数关系式,并解决问题． 应用二次函数的有关知识解决实际问题的一般步骤 图２６．３Ｇ１ 【例１】星期天,小明的爸爸开着一辆 满载西瓜的大卡车首次到某古城销 售,来到城门下才发现古城门为抛 物线形状(如图２６．３Ｇ１所示)．小明 的爸爸把车停在城门外,仔细端详 了城门的高和宽以及自己卡车的大小很久,但还是十 分担心卡车是否能够顺利通过该城门．经询问得知,城 门底部的宽为６m,最高点距离地面５m．如果卡车的 高是４m,顶部宽是２．８m,那么卡车能否顺利通过? 分析:欲知卡车能否顺利通过城门,只需计算高４m 处的 城门的宽度是否大于２．８m 即可． 图２６．３Ｇ２ 解:建立平面直角坐标系如图２６．３Ｇ ２所示, 则A(－３,０),B(３,０),顶点C 的 坐标为(０,５)． 设抛物线对应的二次函数表达式 ２５ 为y＝ax２＋５． 把点B 的坐标代入,得０＝９a＋５, 解得a＝－ ５ ９ , 所以y＝－ ５ ９x ２＋５． 设卡车顶部刚好与DE 这条线同高, 则点D、E 的纵坐标都是４． 当y＝４时,４＝－ ５ ９x ２＋５, 解得x＝± ３５ ５ , 从而DE＝ ６５ ５ m． 因为６５ ５ ＜２．８ , 所以卡车不能顺利通过城门． 知识点二　二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程之间的转化 y＝ax２＋bx＋c 已知函数值y＝k,求自变量的 值,可看作解一元二次方程 解一元二次方程可看作已知 函数值为k,求自变量的值 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 ax２＋bx＋ c＝k 二次函数图象与一元二次方程根的情况 判别式 Δ＝b２－ ４ac 二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０) 一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０(a≠０) 图象 与x 轴的交点坐标 根的情况 Δ＞０ a＞０ a＜０ 二次 函 数 y＝ax２ ＋ bx＋c(a≠０)的图象 与x 轴交于(x１,０), (x２,０)(x１ ＜x２ )两 点,且x１,２＝ －b± b２－４ac ２a ,此 时函数图象与x 轴有 两个交点 一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０(a≠０)有 两 个 不 相 等 的 实 数 根x１,２＝ －b± b２－４ac ２a (２)将已知的一部分作为一 个坐标轴,以它的垂线作为 另一个坐标轴,使图形关于 坐标轴对称,这样能使计算 较为简便．   > M 'F (１)如果二次函数y＝ax２＋ bx＋c(a≠０)的图象与x 轴 有公共点,且公共点的横坐 标是x０,那么当x＝x０时, 函数值是０．因此,x＝x０是 一元 二 次 方 程ax２ ＋bx＋ c＝０(a≠０)的一个根． ３５ (２)根 据 抛 物 线 的 开 口 方 向和顶点的位置可以判断 抛物线与x 轴的交点的个 数．例如,若抛物线的开口 向上、顶点在x 轴下方(或 开口向 下,顶 点 在x 轴 上 方),则抛物线与x 轴有两 个交点;若开口向上、顶点 在x 轴上方(或开口向下, 顶点在x 轴下方),则抛物 线与x 轴 无 交 点;若 抛 物 线的顶 点 在x 轴 上,则 无 论抛物线的开口是向上还 是向下,它 与x 轴 都 只 有 一个交点． 续表 判别式 Δ＝b２－ ４ac 二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０) 一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０(a≠０) 图象 与x 轴的交点坐标 根的情况 Δ＝０ a＞０ a＜０ 二次 函 数 y＝ax２ ＋ bx＋c(a≠０)的图象与 x 轴 交 于 点 ( － b２a, ０) ,此时函数图象与 x 轴 有 且 只 有 一 个 交点 一元二 次 方 程ax２ ＋ bx＋c＝０(a≠０)有两 个相等的实数根x１＝ x２＝－ b ２a Δ＜０ a＞０ a＜０ 二次 函 数 y＝ax２ ＋ bx＋c(a≠０)的图象 与x 轴无交点 一元二 次 方 程ax２ ＋ bx＋c＝０(a≠０)在实 数范围内无解(或称无 实数根) 【例２】画出二次函数y＝x２－３x－４的图象,根据图象 回答下列问题: (１)图象与x 轴的交点坐标是什么? (２)当x 取何值时,y＝０? 这里x 的取值与方程x２－ ３x－４＝０有何关系? (３)你能从中得到什么启示? 图２６．３Ｇ３ 解:二次函数y＝x２－３x－４的图