26.2.3 求二次函数的表达式-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

M  > M ３．求二次函数的表达式 知识点一　用待定系数法求二次函数的表达式 二次函数常见的三种表达式 用待定系数法求二次函数的表达式的步骤 【例１】根据下列条件求二次函数的表达式． (１)抛物线的顶点为(－１,－３),与y 轴的交点为 (０,－５); (２)二次函数的图象经过点(－１,－６)、(１,－２)和(２,３)． 解:(１)因为抛物线的顶点为(－１,－３), 所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋１)２－３． 因为抛物线与y 轴的交点为(０,－５), 所以－５＝a－３, 解得a＝－２． 所以抛物线对应的表达式为y＝－２(x＋１)２－３, 即y＝－２x２－４x－５． (２)设二次函数的表达式为y＝ax２＋bx＋c(a≠０), 因为二次函数的图象经过点(－１,－６)、(１,－２)和 (２,３),   > M 'F (１)与 一 次 函 数、反 比 例 函 数类似,此处求二次函数表 达式 的 方 法 也 是 待 定 系 数 法,通常表达式中有几个未 知系数,就需要选取几个条 件来求出表达式． (２)一般求得的表达式要整 理成一般形式．  特殊位置抛物线 对应的表达式 (１)当 抛 物 线 顶 点 在 原 点 时,抛物线对应的表达式为 y＝ax２; １４ (２)当抛物线关于y 轴对 称(顶点在y 轴上)时,b＝ ０,抛物线对应的表达式为 y＝ax２＋c; (３)当抛物线经过原点时, 抛物 线 对 应 的 表 达 式 为 y＝ax２＋bx; (４)当抛物线顶点在x 轴 上时,抛 物 线 对 应 的 表 达 式为y＝a(x－h)２． 所以 a－b＋c＝－６, a＋b＋c＝－２, ４a＋２b＋c＝３, ì î í ï ï ï ï 解得 a＝１, b＝２, c＝－５． ì î í ï ï ï ï 所以二次函数的表达式为y＝x２＋２x－５． 选择设为顶点式的三种情况 (１)已知顶点坐标; (２)已知对称轴或顶点的横坐标; (３)已知二次函数的最值或顶点的纵坐标． 知识点二　实际问题中的二次函数表达式 在解决一些实际问题时,往往需要根据某些条件求出函 数表达式,如拱形隧道、篮球的运行轨迹等． 【例２】如图２６．２．３Ｇ１所示,隧道的截面由抛物线和长方 形构成,长方形的长是８m,宽是２m,抛物线的最高点 到路面的距离为６m,该抛物线对应的函数表达式为 　　　　． 图２６．２．３Ｇ１ 解析:由题意可得,该抛物线的顶点坐标是(４,６),函数图 象 过 点 (０,２),设 该 抛 物 线 对 应 的 表 达 式 为 y＝a(x－４)２＋６, 则２＝a(０－４)２＋６,解得a＝－ １ ４． 即该抛物线对应的表达式为y＝－ １ ４ (x－４)２＋６＝ － １ ４x ２＋２x＋２． 答案:y＝－ １ ４x ２＋２x＋２ ２４ 题型一　灵活选择二次函数的形式求表达式 【例１】已知当x＝４时,二次函数有最小值－３,且它的 图象与x 轴的一个交点的横坐标为７,求该二次函数 的表达式． 审题关键:把已知条件转化为图象上的关键点或确定 图象上有关点的坐标,而后选择相应的函数表达式 求解． 图２６．２．３Ｇ２ 破题思路:由当x＝４时,二 次函数有最小值 －３,得 顶点坐标为(４,－３),对 称轴为直线x＝４,抛物线 的开口向上．由抛物线与 x 轴的一个交点的横坐标 为７,得 抛 物 线 过 点 (７, ０),根据它的对称性可得,图象与x 轴的另一个交 点的坐标为(１,０)．可以画出抛物线的草图,如图 ２６．２．３Ｇ２所示．由获得的信息可知,选用二次函数表 达式的三种形式都可以求解． 解:方法１:由题意,得抛物线的顶点坐标为(４,－３), 可设二次函数的表达式为y＝a(x－４)２－３． 因为抛物线经过点(７,０), 所以０＝a(７－４)２－３, 解得a＝ １ ３ , 所以该二次函数的表达式为y＝ １ ３ (x－４)２－３, 即y＝ １ ３x ２－ ８ ３x＋ ７ ３． 方法２:由题意,得抛物线的顶点坐标为(４,－３),抛 物线的对称轴为直线x＝４,抛物线与x 轴的一个 交点为(７,０),由对称性可知,抛物线与x 轴的另一 个交点为(１,０)．设二次函数的表达式为y＝ax２＋ １．若二次函数 的 图 象 经 过 A(０,０)、B(－１,－１１)、 C(１,９)三点,则这个二次 函数的表达式是 (　　) A．y＝－１０x２＋x B．y＝－１０x２＋１９x C．y＝１０x２＋x D．y＝－x２＋１０x ２．(一题多解)已知一条抛物 线与x 轴两交点的横坐标 分别是１、５,与y 轴交点 的纵坐标是－５,试确定这 条抛物线对应的表达式． ３４ ３．(一题多解)已知抛物线 在x 轴上所截线段的长 为４,顶点坐标为(２,４), 求这条抛物线对应的表 达式． bx＋