第21章 二次根式 章末整合提升-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

章末整合提升 专题一　确定二次根式中字母的 取值范围 　　确定含二次根式的代数式中字母的 取值范围，主要是被开方数必须大于或 等于零．该类问题常与函数、分式的意义 结合在一起，解这类题时一般先紧扣二 次根式的意义，确定被开方数是非负 数，再结合分式的分母不能为零，从而 列不等式（组）求出字母的取值范围． 例１(四川自贡中考)若代数式 x－１ x 有 意义,则x 的取值范围是　　　　． 解析:由题意,得x－１≥０,且x≠０, 解得x≥１,且x≠０, 所以x≥１． 答案:x≥１  　　解决此类题的方法是根据已知条 件及代数式有意义的条件列不等式 (组),从而求得字母的取值范围． 专题二　二次根式的性质的应用 　　二次根式的性质主要是指二次根式 的非负性和二次根式的两个公式． （１）非负性： a≥０（a≥０）． （２）两个公式：①(a) ２ ＝a（a≥０）； ② a２ ＝|a|＝ a,a≥０, －a,a＜０．{ ６２ 根据这些性质可以对二次根式进行化 简、恒等变形等． 例２ 若(m－１)２＋ n＋２＝０,则 m＋n 的值是 (　　) A．－１ B．０ C．１ D．２ 解析:因为(m－１)２≥０,n＋２≥０,且 (m－１)２＋ n＋２＝０, 所以 m－１＝０, n＋２＝０,{ 解得 m＝１, n＝－２,{ 所以m＋n＝－１．故选 A． 答案:A 　　解题的关键是根据非负数的性质 列方程(组)． 专题三　二次根式的运算 　　二次根式的混合运算能较全面地考 查二次根式的相关知识，如二次根式的 性质、最简二次根式、同类二次根式、 二次根式的加减法法则以及二次根式的 乘除法法则．在进行二次根式的运算时， 要注意运算顺序，灵活运用乘法公式， 充分使用运算律，以简化计算，同时要 注意将结果化为最简． 例３计算: (１)(江苏泰州中考) １ ２ １２－ (３ １ ３＋ ２) ; (２)(江苏盐城中考)(３－ ７)(３＋ ７)＋ ２(２－ ２)． 解:(１) １ ２ １２－ (３ １ ３＋ ２) ＝ ３－(３＋ ２) ＝ ３－ ３－ ２ ＝－ ２． (２)(３－ ７)(３＋ ７)＋ ２(２－ ２) ＝９－７＋２２－２ ＝２２． 　　对于二次根式的混合运算,先进 行二次根式的乘除运算,再把各二次 根式化为最简二次根式,最后合并同 类二次根式． 专题四　已知字母的值含二次根式 时的代数式的化简求值 　　二次根式的化简求值常结合分式、 数轴、绝对值等知识点进行综合考查．在 进行化简时，一定要注意所给出的条件 或题目中的隐含条件，根据试题特点选 取适当的解题方法．通常的步骤是先化 简，再代入求值． 例４先化简,再求值: ( ２x２＋２x x２－１ － x x－１) ÷ x x＋１ ,其中x＝ １＋ ２． 解:( ２x２＋２x x２－１ － x x－１) ÷ x x＋１ ＝ ２x (x＋１) (x－１)(x＋１)－ x x－１ é ë ê ê ù û ú ú 􀅰x＋１ x ＝ ( ２x x－１－ x x－１) 􀅰x＋１ x ＝ x x－１ 􀅰x＋１ x ７２ ＝ x＋１ x－１． 因为x＝１＋ ２, 所 以 原 式 ＝ １＋ ２＋１ １＋ ２－１ ＝ ２＋ ２ ２ ＝ ２＋１．  　　本题考查了化简求值问题．解决 这类题目往往要先将代数式化为最 简,再代入求值． 专题五　思想方法专题 １．类比思想 二次根式的概念是在算术平方根 的基础上提出的，同类二次根式的概 念是类比同类项的概念提出的，二次 根式的加减是类比整式的加减（合并 同类项）提出的．新旧知识的类比会让 知识内容更容易迁移,学习时要注意体 会类比思想的应用． 例５计算:(１)１８－ ３２＋ ２; (２)２ １ ２－６ １ ３＋ ８． 分析:类比整式的加减,先把每个二次根 式化成最简二次根式,再合并同类二 次根式． 解:(１)１８－ ３２＋ ２＝３２－４２＋ ２ ＝(３－４＋１)× ２＝０． (２)２ １ ２ －６ １ ３ ＋ ８＝ ２－２ ３＋ ２２＝３２－２３． 　　二次根式的加减与整式的加减类 似,关键是合并同类二次根式． ２．数形结合思想 二次根式的化简需要讨论字母的 取值范围，而字母的取值范围可以借 助数轴得出，其步骤如下：首先利用 数形结合思想，通过观察和分析数轴 得出字母的取值范围，然后利用二次 根式的性质解决问题． 例６设实数a、b在数轴上对应的位置如 图２１Ｇ１所示,化简 a２ ＋ a＋b 的结 果是 (　　) 图２１Ｇ１ A．－２a＋b B．２a＋b C．－b D．b 解析:由数轴,知a＜０,b＞０,a＋b＞０, 根 据 二 次 根 式 的 性 质,得 a２ ＋ a＋b ＝－a＋a＋b＝b,故选 D． 答案:D " 　　解答结合数轴求代数式值的这类 问题时,先由数轴