23.5 位似图形-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

２３．５　位似图形


● 理解位似图形的概念,能够利用作位似图形的方 法把一个图形放大或缩小． ● 利用图形的位似解决一些简单的问题,发展数学 应用意识,培养动手操作能力． 　　 J 知识点一　位似图形 如图２３．５Ｇ１,已知四边形ABCD,作四 边形A′B′C′D′,使四边形A′B′C′D′与 四边形ABCD的相似比为 １ ２． 作法:如图２３．５Ｇ１所示, (１)在四边形ABCD 外任取一点O; (２)以点 O 为端点作射线OA、OB、 OC、OD; (３)分别在射线OA、OB、OC、OD 上 取点A′、B′、C′、D′,使得 OA′ OA ＝ OB′ OB ＝ OC′ OC ＝ OD′ OD ＝ １ ２ ; (４)顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′,得 到所要画的四边形A′B′C′D′． 图２３．５Ｇ１ 量一量,算一算:四边形 ABCD 与四 边形A′B′C′D′相似． 求证:四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′． 证明:因为OA′ OA ＝ OB′ OB ＝ １ ２ ,∠AOB＝ ∠A′OB′, 所以△AOB∽△A′OB′, 所以∠OAB＝∠OA′B′． 同理,∠OAD＝∠OA′D′, 所以∠OAD－∠OAB＝∠OA′D′－ ∠OA′B′,所以∠BAD＝∠B′A′D′． 同理,∠ABC＝ ∠A′B′C′,∠BCD ＝ ∠B′C′D′,∠ADC＝∠A′D′C′． 又因为△AOB∽△A′OB′, ２２１ 所以 A′B′ AB ＝ OA′ OA ＝ １ ２． 同理,B′C′ BC ＝ C′D′ CD ＝ D′A′ DA ＝ A′B′ AB ＝ １ ２． 所以四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′． M  > M　   > M 　两个图形的对应点A 与A′、B 与B′、 C 与C′􀆺􀆺的连线都交于一点O,并 且 OA′ OA ＝ OB′ OB ＝ OC′ OC ＝ 􀆺＝k,这两个 图形叫做位似图形,点O 叫做位似中 心,k就是这两个位似图形的相似比． (１)位似图形和相似图形的关系:位似 图形一定是相似图形,具有相似图形 的一切性质;相似图形不一定是位似 图形． (２)位似图形的概念包含三层含义: ①位似图形是针对两个图形而言的; ②位似图形是相似图形; ③位似图形的每组对应点所在的直线 都必须经过同一点． 【例１】图２３．５Ｇ２所示的各图中的两个图形 是位似图形的有　　　　　,位似中心 分别是　　　　　,不是位似图形的是 　　　　　． 　 ①　　　 　　②　　　　　③ ④　　　　　　　⑤ 图２３．５Ｇ２ 解析:①②④三个图形中的两个图形都 是位似图形,位似中心分别是点A、P、 Q．③中的点O 不是对应点连线的交点, 故③中的两个图形不是位似图形,⑤中 的两个图形也不是位似图形． 答案:①②④　点A、P、Q　③⑤ 　　位似图形是特殊位置上的相似图 形,因此,判断两个图形是否为位似图 形时,要先看这两个图形是否相似,再 看对应点的连线是否都经过同一点, 这两个方面缺一不可． 知识点二　位似图形的性质(拓展) 　(１)位似图形的对应角相等、对应线段 之比等于相似比、周长之比等于相似 比、面积之比等于相似比的平方; (２)位似图形的对应点连线或其延长 线交于一点; (３)位似图形上的任意一对对应点到 位似中心的距离之比等于相似比． ３２１ 图２３．５Ｇ３ 【例２】(湖北十堰中 考)如 图 ２３．５Ｇ３ 所 示,以点O 为位似中 心,将 △ABC 缩 小 后得到△A′B′C′,已 知 OB＝ ３OB′,则 △A′B′C′与△ABC 的面积比为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　A．１∶３ B．１∶４ C．１∶５ D．１∶９ 解析:因为OB＝３OB′,所以 OB′ OB ＝ １ ３． 因为以点O 为位似中心,将△ABC 缩 小后得到△A′B′C′, 所以△A′B′C′∽△ABC, 所以 A′B′ AB ＝ OB′ OB ＝ １ ３． 所以 S△A′B′C′ S△ABC ＝ ( A′B′ AB ) ２ ＝ １ ９． 答案:D 4 　　位似图形是一种特殊的相似图 形,可利用相似三角形的性质解决求 线段的长、角的度数、图形的周长与面 积等问题． 知识点三　位似图形的画法 利用位似的方法可以把一个图形放大 或缩小． 画位似图形的一般步骤 (１)确定位似中心; (２)确定原图形的关键点; (３)确定相似比; (４)找出新图形的关键点; (５)连结对应关键点,画出图形． (１)决定一个位似图形的主要因素有 两个:一是位似中心,二是相似比．其 中位似中心选取不同,则所画的位似 图形的位置不同,而相似比不同,则所 画的位似图形的大小不同． (２)位似中心的选取:在画位似图形 时,既可以把位似中心取在图形的外