23.4 中位线-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

２３．４　中位线


● 理解三角形的中位线的概念及三角形重心的概念． ● 掌握三角形中位线定理,并能熟练地应用它解决 简单的问题． 　　 J 知识点一　三角形中位线的 概念及定理 填空:如图２３．４Ｇ１,因为点D、E 分别 是AB、AC 的中点, 所以 AD AB＝ AE AC＝ １ ２． 因为∠A＝∠A, 所以△ADE∽△ABC, 所以 ∠ADE＝ ∠ABC, DE BC ＝ AD AB ＝ １ ２ , 所以DE　∥BC,DE＝ １ ２BC． 图２３．４Ｇ１ 归纳:在△ABC 中,若点D、E 分别是 AB、AC 的 中 点,则 DE ∥BC,且 DE＝ １ ２BC． 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角 形的中位线． 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且 等于第三边的一半． (１)三角形的中位线定理的组成:三角 形的中位线定理在同一个题设下有两 个结论,第一个结论是说明中位线与 第三边的位置关系(平行),第二个结 论是说明中位线与第三边的数量关系 (倍分),在解题时可根据题目情况灵 活选用． ３１１ (２)三角形的中位线与三角形的中线 的区别:①三角形的中位线是三角形 两边中点的连线,而三角形的中线是 一个顶点与对边中点的连线;②三角 形的中位线平分这个三角形的两边, 而三角形的中线只平分三角形的一条 边;③三角形的中位线平行于第三边, 并且等于第三边的一半,而三角形的 中线不平行于这个三角形的任何一 边;④三角形的中位线不经过三角形 的任何一个顶点,而三角形的中线经 过被它平分的边所对的顶点． 　　三角形的三条中位线构成的三角 形与原三角形相似,且面积是原三角 形面积的 １ ４． 【例１】(四川凉山州中考)如图２３．４Ｇ２, △ABC 的面积为１２cm２,点 D、E 分 别是AB、AC 边的中点,则梯形DBCE 的面积为　　　　cm２． 图２３．４Ｇ２ 解析:因为点 D、E 分别是AB、AC 边 的中点, 所以DE 是△ABC 的中位线, 所以DE＝ １ ２BC ,DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC, 所以 S△ADE S△ABC ＝ １ ４． 因为S△ABC＝１２cm２, 所以S△ADE＝３cm２, 所以S梯形DBCE ＝S△ABC －S△ADE ＝１２－ ３＝９(cm２)． 答案:９ 4 三角形的中位线定理的应用 (１)定理为证明平行关系提供了新的 工具,为证明一条线段是另一条线段 的２倍或一半提供了一个新的途径． (２)经过三角形一边的中点且与另一 边平行的直线,必平分第三条边．这是 一种作辅助线的方法． 知识点二　三角形重心的 概念及性质 如图２３．４Ｇ３所示,在△ABC 中,D、E、F 分别是边BC、AB、AC 的中点,AD、CE 相交于点G,连结DE． 图２３．４Ｇ３ 因为D、E 分别是边BC、AB 的中点, 所以DE∥AC,DE＝ １ ２AC , ４１１ 所以∠DEG＝∠ACG,∠EDG＝∠CAG, 所以△DEG∽△ACG, 所以 GE CG＝ GD AG＝ DE AC＝ １ ２． 所以 GE CE＝ GD AD＝ １ ３． 连结DF．设BF 交AD 于点G′, 同理可得 G′D AD ＝ G′F BF ＝ １ ３． 因为 GD AD＝ １ ３ ,所以G′D AD ＝ GD AD＝ １ ３ , 所以点G 与点G′重合, 所以 GF BF＝ １ ３ , 所以 GE CE＝ GD AD＝ GF BF＝ １ ３． 三角形三条边上的中线交于一点,这 个点就是三角形的重心． 三角形的重心与一边中点的连线的长 是对应中线长的 １ ３． 　　三角形的重心把中线分成了１∶ ２两部分． 　　数学上的“重心”与物理上的“重 心”是一致的． 【例２】如图２３．４Ｇ４所示,在△ABC 中, 如果AB＝AC＝５厘米,BC＝８厘米, 中线AD 与中线BE 相交于点G,那么 GA 的长度为　　　　厘米． 图２３．４Ｇ４ 解析:在△ABC 中,AB＝AC,AD 是 中线, 所以AD⊥BC,BD＝ １ ２BC＝４ 厘米, 所以 AD＝ AB２－BD２ ＝ ５２－４２ ＝ ３(厘米)． 因为点G 是△ABC 的重心, 所以GD＝ １ ３AD＝１ 厘米． 所以GA＝AD－GD＝３－１＝２(厘米)． 答案:２ 4 　　已知三角形的两条中线相交于三 角形内一点,常利用三角形的重心的 性质解决问题．三角形的重心也可以 看做是三角形中线的一个三等分点． 三角形的重心的性质是计算三角形内 线段长度的重要方法之一． 知识点三　中点四边形(拓展) 中点四边形的定义:顺次连结任意一 个四边形各边中点所得的四边形叫做 中点四边形． ５１１ 常见四边形的中点四边形 四边形 图示 中点四 边形的 形状 说明 一般 四边形