23.3 相似三角形-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

２３．３　相似三角形(１)


● 了解相似三角形的概念,探索并掌握两个三角形 相似的条件． ● 会选择恰当的方法,判定两个三角形相似． 　　 J 知识点一　相似三角形 定义:对应边成比例、对应角相等的两 个三角形是相似三角形． 表示法 (１)相似用符号“∽”表示,读作“相似 于”． (２)在△ABC 和△A′B′C′中,若 AB A′B′＝ BC B′C′＝ CA C′A′ ,∠A ＝ ∠A′,∠B ＝ ∠B′,∠C ＝ ∠C′,则 △ABC ∽ △A′B′C′． 相似比 (１)两个相似三角形对应边的比叫做 相似三角形的相似比． (２)如果记 AB A′B′＝ BC B′C′＝ CA C′A′＝k ,那 么k 表 示 △ABC 与 △A′B′C′的 相 似比． 相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例,对应角 相等． M  > M 若△ABC∽△A′B′C′,则 有 AB A′B′＝ BC B′C′＝ CA C′A′ , ∠A＝∠A′,∠B＝∠B′, ∠C＝∠C′． (１)在用符号表示两个三角形相似时, 要将对应顶点写在对应的位置上,这 样可以比较容易地找到相似三角形的 对应边和对应角． (２)全等三角形与相似三角形的关系: ①全等三角形一定是相似三角形,它 们的相似比为１,全等是相似的特殊 情况;②相似三角形不一定是全等三 角形,只有当相似比为１时,相似三角 形才是全等三角形． ０９ (３)相似比的顺序性: 相似比是有顺序的,若△ABC 与△A′B′C′ 的相似比是k,则△A′B′C′与△ABC 的相似比是 １ k． 【例１】如图 ２３．３．１Ｇ１ 所示,△ABC 与 △A′B′C′相似吗? 请说明理由． 图２３．３．１Ｇ１ 解:△ABC 与 △A′B′C′相 似．理 由 如下: 经过观察可以发现,∠A＝∠A′,∠B＝ ∠B′,∠C＝ ∠C′,且 AB A′B′＝ BC B′C′ ＝ CA C′A′＝ ２ １ , 所以△ABC∽△A′B′C′． 4 　　利用相似三角形的定义判定两个 三角形相似,需满足对应边成比例、对 应角相等． 知识点二　根据平行判定 两个三角形相似 图２３．３．１Ｇ２ 填空:如图２３．３．１Ｇ２,在 △ABC 中,D 为 边 AB 上 的 任 一 点,作 DE ∥ BC,交边AC 于点E．因为 DE∥BC,所以∠ADE＝ ∠B,∠AED＝∠C．又由平行线分线 段成比例的基本事实,得AD AB＝ AE AC , 用刻度尺测量可发现 DE BC＝ AD AB ,因而 有△ADE∽△ABC． 归纳:若DE∥BC,则△ADE∽△ABC． 根据平行判定两三角形相似的方法 平行于三角形一边的直线,和其他两 边(或两边的延长线)相交所构成的三 角形与原三角形相似． 应用格式 如图２３．３．１Ｇ３所示,如果DE∥BC,那 么△ADE∽△ABC． ①　　 　　 　②　　　　　③ 图２３．３．１Ｇ３ M  > M　   > M １９ (１)平行线截三角形得到的三角形与 原三角形相似的情形: ①平行线与三角形的两边相交;②平行 线与三角形的两边的延长线或者两边 的反向延长线相交． (２)平行线截三角形得到的三角形与 原三角形相似的图形分类 有“A”型 (如图２３．３．１Ｇ３①②)和“X”型(如图 ２３．３．１Ｇ３③)． (３)当题目的条件中出现平行线时,一 般采用这种判定方法来判定两个三角 形相似． 【例２】(福建厦门中考)如图２３．３．１Ｇ４,在 △ABC 中,DE∥BC,且AD＝２,DB＝ ３,则 DE BC＝　　　　． 图２３．３．１Ｇ４ 解析:因为DE∥BC, 所 以 △ADE ∽ △ABC,所 以 DE BC ＝ AD AB． 因为AD＝２,DB＝３, 所以 AB＝AD＋DB＝５,所以 DE BC ＝ AD AB＝ ２ ５． 答案:２ ５ 4 　　本题考查了根据平行判定两个三 角形相似的方法和相似三角形的性 质．解决本题的关键是先根据 DE 和 BC 平行,得到两个三角形相似,再根 据相似三角形的性质求出比例式的值． 知识点一　相似三角形的 判定定理１ 填空:如图２３．３．１Ｇ５所示,画△ABC 和 △A′B′C′,使 ∠A ＝ ∠A′＝４５°, ∠C＝∠C′＝３０°,∠B＝∠B′＝１０５°, 用刻度尺量出 AB、A′B′、BC、B′C′、 AC、A′C′的长度可得, AB A′B′＝ BC B′C′＝ AC A′C′． 所以△ABC∽△A′B′C′． 图２３．３．１Ｇ５ 再任 意 画 △ABC 和 △A′B′C′,使 ∠A＝∠A′,∠C＝∠C′,∠B＝∠B′, 用刻度尺量出AB、A′B′、BC、B′C′、AC、 A′C′的长度,仍有 AB A′B′＝ BC B′C′＝ AC A′C′．