23.2 相似图形-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

２３．２　相似图形


● 探索相似图形的性质,掌握相似多边形的性质． ● 会判断两个多边形是否相似,并能应用相似多边 形的性质进行有关计算． ● 能在格点图中画出相应的相似图形． 　　 J 知识点一　相似多边形的 性质 填空:如图２３．２Ｇ１,四边形A′B′C′D′ 是由四边形ABCD 放大得到的,即这 两个四边形大小不同,但形状相同,因 此四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′ 相似． 图２３．２Ｇ１ 由图 ２３．２Ｇ１ 可知,在四边形 ABCD 中,AB＝２,BC＝２,CD＝ １２＋２２ ＝ ５,DA＝１; 在四边形A′B′C′D′中,A′B′＝４,B′C′＝ ４,C′D′＝ ２２＋４２＝２５,D′A′＝２． 各组对应边的比为 AB A′B′＝ １ ２ ,BC B′C′＝ １ ２ ,CD C′D′＝ １ ２ ,DA D′A′＝ １ ２ , 所以 AB A′B′＝ BC B′C′＝ CD C′D′＝ DA D′A′． 量出各组对应角的度数为∠A＝９０°, ∠B ＝９０°,∠C ≈６３°,∠D ≈１１７°, ∠A′＝９０°,∠B′＝９０°,∠C′≈６３°, ∠D′≈１１７°,所以∠A＝∠A′,∠B＝ ∠B′,∠C＝∠C′,∠D＝∠D′． 归纳:相似四边形的对应边成比例,对 应角相等． M  > M　   > M 　相似多边形的性质:相似多边形的对 应边成比例,对应角相等． 　　相似多边形的性质反映了相似的 两个多边形之间对应边与对应角之间 的关系,应用时一定要注意对应,防止 出错． ４８ 【例１】如图２３．２Ｇ２,四边形ABCD 与四 边 形A′B′C′D′相 似,且 CD ⊥BC, C′D′⊥B′C′,AB 与A′B′是对应边．根 据图中的条件,求出未知的边长x 及 角α． 图２３．２Ｇ２ 解:因 为 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 A′B′C′D′相似, 所以∠A＝∠A′＝１２０°, AB A′B′＝ AD A′D′ , 所以 ２３ x＝ １５ １０ , 所以x＝ ４６ ３． 因为CD⊥BC,所以∠C＝９０°, 所以α＝３６０°－１２０°－９０°－６５°＝８５°． 4 　　相似多边形的对应边成比例,对 应角相等．利用相似多边形的性质可 以求两个相似多边形中未知的边或角 的大小,其关键是找准对应边和对应角． 知识点二　相似多边形的判定 　两个边数相同的多边形,如果各边对 应成比例,各角对应相等,就称这两个 多边形相似． (１)两个多边形相似应具备的条件: ①边数相同;②对应边成比例;③对应 角相等． (２)全等多边形与相似多边形的关系: 全等多边形一定是相似多边形,而相 似多边形不一定是全等多边形． 【例２】如图２３．２Ｇ３,在矩形ABCD 与矩 形A′B′C′D′中,已 知 AB ＝１６cm, AD＝１０ cm,A′D′＝ ５ cm,矩 形 A′B′C′D′的面积为４０cm２,这两个矩 形相似吗? 为什么? 图２３．２Ｇ３ 解:相似．理由如下: 因为矩形A′B′C′D′的面积为４０cm２, 所以A′B′􀅰A′D′＝４０cm２． 又因为A′D′＝５cm, 所以A′B′＝８cm． 因为四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′ 都是矩形, 所以 AB＝CD＝１６cm,AD＝BC＝ １０cm,A′B′＝C′D′＝８cm,A′D′＝ B′C′＝５cm, ５８ 所以 AB A′B′＝ BC B′C′＝ CD C′D′＝ AD A′D′． 又 因 为 ∠A ＝ ∠A′,∠B ＝ ∠B′, ∠C＝∠C′,∠D＝∠D′, 所以 矩 形 ABCD 与 矩 形 A′B′C′D′ 相似． 4 (１)识别相似多边形的三个条件缺一 不可,必须同时满足; (２)求对应边或对应边的比时,要注意 隐含条件“边长大于０”． 类型一　相似多边形的性质 【例１】如图２３．２Ｇ４所示,把矩形ABCD 对折,折痕为MN,矩形DMNC 与矩形 ABCD 相似,AB＝４． (１)求AD 的长; (２)求矩形 DMNC 与矩形ABCD 的 对应边的比． 图２３．２Ｇ４ 审题关键:本题考查了相似多边形的 性质,利用相似多边形的性质求未 知的边长．解答这类题的关键是掌握 相似多边形的性质———相似多边形的 对应边成比例,对应角相等,从而列出 方程求解． 解:(１)由已知,得 MN＝AB,MD＝ １ ２AD＝ １ ２BC． 因为 矩 形 DMNC 与 矩 形 ABCD 相似, 所以 MD AB ＝ MN BC ．􀀋 所以 １ ２AD ２＝AB２,􀀌 所以由AB＝４,得AD＝４２． (２)由题意,得矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的对应边的比为 DM AB＝ １ ２AD AB ＝ ２２ ４ ＝ ２ ２． 􀀋相似多边形的对应边成比例． 􀀌