23.1 成比例线段-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

  - @   第２３章　图形的相似 ２３．１　成比例线段


● 理解相似图形的概念,能识别相似图形． ● 了解成比例线段的意义,会判断四条线段是否成 比例． ● 掌握比例的性质,会利用比例的性质求未知线段 的长． ● 了解平行线分线段成比例的基本事实,会应用该 基本事实解决问题． 　　 J 知识点一　相似图形的概念   > M 　相似图形:具有相同形状 的图形称为相似图形． (１)全等图形与相似图形的关系: 全等图形是相似图形的特例,即全等 图形的形状和大小都相同,所以全等 图形一定是相似图形;而相似图形的 大小不一定相同,不一定能完全重合, 所以相似图形不一定是全等图形． (２)两个相似图形的关系: 两个图形相似(不全等),其中一个图 形可以看做是由另一个图形放大或缩 小得到的．也就是说,相似图形只是形 状完全相同,而与它们的位置、颜色、 大小没有关系． 【例１】观察图２３．１Ｇ１中的图形,哪些图 形是相似图形? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 图２３．１Ｇ１ 分析:在所有的图形中,①和⑧、②和 ⑥虽然大小不同,但形状相同,所以它 ３７ 们相似．③和⑦形状、大小都相同,它们 全等,全等的图形也是相似图形．图④ 和②⑥相比,图⑤和①⑧相比,形状发 生了变化,不与它们相似．⑨⑩两个矩 形宽相等,长不相等,形状不同,不是 相似图形． 解:①和⑧、②和⑥、③和⑦分别是相 似图形． 4 　　在识别相似图形时,不要以位置 为准,只要“形状相同”即可．把一个图 形部分拉长或加宽得到的图形和原图 形不是相似图形． 知识点二　成比例线段 填空:如图 ２３．１Ｇ２,由格点图可知, AB A′B′＝ １ ２ ,BC B′C′＝ １ ２ , M  > M 所以 AB A′B′＝ BC B′C′． 归纳:对于四条线段AB、A′B′、BC、 B′C′,其中两条线段的长度之比等于 另外两条线段的长度之比． 图２３．１Ｇ２ 　对于给定的四条线段a、b、c、d,如果 其中两条线段的长度之比等于另外两 条线段的长度之比,如a b ＝ c d (或a∶ b＝c∶d),那么,这四条线段叫做成比 例线段,简称比例线段．此时也称这四 条线段成比例． (１)线段的比与比例线段的区别: 线段的 比 是 指 两 条 线 段 长 度 的 比, 而比 例 线 段 是 指 四 条 线 段 之 间 的 关系． (２)判断四条线段是否成比例的步骤: ①统一单位;②按大小顺序排列;③判 断前两条线段的比是否等于后两条线 段的比． 注意:漏掉任何一个步骤都容易导致 错误． 【例２】判断下列长度的各组线段是否成 比例: (１)３cm、５cm、７cm、４cm; (２)１２mm、５cm、１５mm、４cm． 解:(１)四条线段按从小到大的顺序排 列为３cm、４cm、５cm、７cm． 因为３∶４≠５∶７, 所以这四条线段不成比例． (２)５cm＝５０mm,４cm＝４０mm,四条 线 段 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 １２mm、１５mm、４０mm、５０mm． 因为１２∶１５＝４０∶５０, 所以这四条线段成比例． ４７ 4 (１)写成比例线段时,不必拘泥于一种 写法,只要线段的比相等就行． (２)一定不要忘记先统一单位． 知识点三　比例的基本性质 比例的基本性质 如果 a b＝ c d ,那么ad＝bc． 如果ad＝bc(a、b、c、d 都不等于０), 那么 a b＝ c d． (１)比例的基本性质是比例变形的重 要依据． (２)比例的变形,可引用设比值k 的 方法: 设 a b＝ c d＝k (k≠０),那么a＝kb,c＝ kd,ad＝kb×d＝b×kd＝bc． 合比性质 如果 a b＝ c d ,那么a±b b ＝ c±d d ． 证明:因为a b＝ c d ,在等式的两边同时 加上(或减去)１, 所以 a b±１＝ c d±１ ,即a±b b ＝ c±d d ． 注意:实际上,比例的合比性质可扩展 为,比例式中等号左右两个比的前项、 后项之间发生同样的和差变化时,比 例仍成立．例如: a b＝ c d⇒ b－a a ＝ d－c c , a－b a＋b＝ c－d c＋d． ì î í ï ï ï ï ïï 等比性质 如果 a b＝ c d＝ 􀆺＝ m n (b＋d＋􀆺＋n≠ ０),那么 a＋c＋􀆺＋m b＋d＋􀆺＋n＝ a b． 证明:令a b＝ c d＝ 􀆺＝ m n＝k , 则a＝bk,c＝dk,􀆺,m＝nk, 所以 a＋c＋􀆺＋m b＋d＋􀆺＋n＝ k(b＋d＋􀆺＋n) b＋d＋􀆺＋n ＝k． 所以 a＋c＋􀆺＋m b＋d＋􀆺＋n＝ a b． 等比性质的证明给出了一个非常重要 的方法———参数法,当出现连等式的