22.3 实践与探索-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

２２．３　实践与探索


● 通过对实际问题中数量关系的探索,进一步体会 “方程 是 刻 画 现 实 世 界 数 量 关 系 的 一 个 有 效 模 型”,更好地体会方程的应用价值． ● 掌握利用一元二次方程解应用题的一般步骤,能 根据 具 体 问 题 的 实 际 运 用,检 验 方 程 的 解 是 否 合理． ● 经历将实际问题转化为数学模型的过程,领悟数 学建模思想,体会如何寻找实际问题中的等量关 系来建立一元二次方程．在解决实际问题的过程 中增强学数学、用数学的意识,进一步感知方程的 应用价值,培养创新意识和实践能力． 　　 J 知识点一　列一元二次方程 解决图形问题 列方程解应用题 列方程解应用题,就是先把实际问题 抽象为数学问题,再由数学问题的解 决而使实际问题得到解决． 一般步骤 (１)审:仔细阅读题目、分析题意,明确题 目要求,弄清已知量、未知量及它们之间 的等量关系; (２)设:有直接设未知数和间接设未知 数两种,因题而异; (３)列:根据题意,找出等量关系,用含 有未知数的代数式表示有关的未知 量,列出方程; (４)解:利用配方法、公式法、因式分解 法等方法求出所列方程的解; (５)验:检验未知数的值是否符合所列 方程,以及是否使实际问题有意义; (６)答:根据题意,写出合理的答案． ６５ 常见图形问题 (１)数学上常见的图形有三角形、平行 四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、正 六边形、圆、长方体、正方体、圆柱、圆 锥等,根据它们的面积、体积或周长公 式来列方程是一种常见的问题． (２)常 见 的 面 积 公 式:S长方形 ＝ab, S正方形 ＝a２,S圆 ＝πr２,S三角形 ＝ １ ２ah． (３)常 见 的 体 积 公 式:V长方体 ＝abh, V正方体 ＝a３,V圆柱 ＝ πr２h,V圆锥 ＝ １ ３πr ２h． M  > M (４)利用勾股定理列方程 也是一种常见的应用题． (１)列方程解应用题,审题是列方程的 基础,而列方程是解题的关键． (２)列方程解应用题应注意的问题: ①注意挖掘题目中隐含的等量关系; ②注意根据语言叙述写出等量关系; ③注意列方程时各量之间的单位要 统一． (３)解答不规则图形问题的方法: 当遇到不规则图形时,要先把不规则 图形分割或组合成规则图形,找出各 部分面积或周长之间的关系,再运用 规则图形的面积或周长公式列出方程 进行求解． 【例１】如图２２．３Ｇ１,某小区规划在一块 长３０m、宽２０m的矩形土地ABCD 上 修建三条同样宽的通道,使其中两条 与AB 平行,另一条与AD 平行,其余 部分种花草．要使每一块花草的面积都 为７８m２,那么通道的宽应设计成多少 米? 设通道的宽为x m,由题意列方 程,得 ． 图２２．３Ｇ１ 解析:如图２２．３Ｇ２所示,把三条道路“平 移”到矩形的两边,因为设通道的宽为 x m,所以小区的矩形的花草部分是一个 长为(３０－２x)m、宽为(２０－x)m 的矩 形,根 据 矩 形 的 面 积 公 式 可 列 方 程 (３０－２x)(２０－x)＝７８×６．整 理,得 x２－３５x＋６６＝０． 图２２．３Ｇ２ 答案:(３０－２x)(２０－x)＝７８×６(或 x２－３５x＋６６＝０) 4 　　本题考查利用一元二次方程解决 图形问题,解答这类题的方法是根据 题目条件及图形的面积公式建立方程 求解．将小路分别“平移”到矩形的最 右(或左)边和最上(或下)边,得到剩 余部分也是一个矩形,再结合题意和 矩形面积公式找出等量关系是解决这 类问题的关键． ７５ 知识点二　列一元二次方程 解决增长率(或降低率)问题   > M 　平均增长率和平均降低 率问题中的数量关系 (１)增长率问题:若设增长的基数为a, 平均增长率为x,则第一次增长后的数 量为a(１＋x),第二次增长是以a(１＋ x)为基数的,经过两次增长后的数量 为a(１＋x)(１＋x),即a(１＋x)２,以此 类推,n 次增长后的数量为a(１＋x)n． 如果增长n 次后的数量为b,那么可列 方程为a(１＋x)n＝b． 增长率公式:a(１＋x)n＝b． (２)降低率问题:设降低的基数为a,平 均降低率为x,则第一次降低后的数量 为a(１－x),第二次降低后的数量为 a(１－x)(１－x),即a(１－x)２,以此类 推,n 次降低后的数量为a(１－x)n．如 果降低n 次后的数量为b,那么可列方 程为a(１－x)n＝b． 降低率公式:a(１－x)n＝b． (１)解 答 增 长 率 与 降 低 率 问 题 时 应 注意: ①分清基本量和变化后的量及其之间 的变化(增长或降低)的次数,此处易 忽略变化率的意义而产生错解;②解 出所列方程后,既要检验是否为方程 的解,又要检验是否符合实际意义