22.2 一元二次方程的解法-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

２２．２　一元二次方程的解法(１)


● 理解配方法,并能用直接开平方法、因式分解法、 配方法、公式法解一元二次方程． ● 能根据方程的特征,灵活选择解一元二次方程的 方法解方程． ● 理解解一元二次方程过程中的“降次”———转化的 数学思想,并能应用它解决一些具体问题． 　　 J 知识点一　用直接开平方法 解一元二次方程 填空:(１)方程x２＝１意味着x 是１的 平方根,根据平方根的定义,得x＝ ± １,即x＝±１,这是方程x２＝１的 两个根,通常表示成x１＝１,x２＝－１． (２)根据平方根的定义,得方程x２＝９ 的两个根是x＝± ９＝±３,即x１＝ ３,x２＝－３． 归纳:观察１中解方程所用方法的共 同特点是,都是根据平方根的定义,用 直接开平方法求出方程的两个根．   > M 　直接开平方法:利用平方 根的定义解一元二次方程 的方法,叫做直接开平方法． (１)根据:平方根的定义． (２)实质:把一个一元二次方程降次, 转化为两个一元一次方程． 【例１】用直接开平方法解下列方程: (１)x２－３＝０;　(２)３x２－２７＝０; (３)９(x＋１)２＝２５． 解:(１)移项,得x２＝３． ９３ 根据平方根的定义,得x＝± ３, 即x１＝ ３,x２＝－ ３． (２)移项,得３x２＝２７． 将二次项系数化为１,得x２＝９． 根据平方根的定义,得x＝±３, 即x１＝３,x２＝－３． (３)两边同除以９,得(x＋１)２＝ ２５ ９． 根据平方根的定义,得x＋１＝± ５ ３ , 所以x１＝ ２ ３ ,x２＝－ ８ ３． 4 　　对于形如x２＝p(p≥０)、(mx＋ n)２＝p (p≥０)等的一元二次方程, 常用直接开平方法求解． 知识点二　用因式分解法 解一元二次方程 填空:(１)将方程x２－４＝０左边用平 方差公式分解因式,得(x－２)(x＋２)＝ ０,有x－２＝０或x＋２＝０,解得x１＝２, x２＝－２． (２)将方程x２－７x＝０左边分解因式,得 x(x－７)＝０,有x＝０或x－７＝０,解得 x１＝０,x２＝７． 归纳:观察１中解方程所用方法的共同 特点是,左边都用因式分解法分解成两 M  > M   > M 个一次因式的 积的 形 式,右 边都是０． 因式分解法:利用分解因式求出方程 解的方法,称为因式分解法． 一般步骤 (１)将方程的右边化为０; (２)将方程的左边分解为两个一次因 式的乘积的形式; (３)令这两个一次因式分别为０,得到 两个一元一次方程; (４)分别解这两个一元一次方程,它们 的解就是原方程的解． (１)适用因式分解法求解的一元二次 方程的特点:方程一边为０,另一边易 分解成两个一次因式的乘积． (２)利用因式分解法解一元二次方程 的理论依据:如果两个因式的积等于 ０,那么这两个因式中至少有一个等于 ０,即“若a􀅰b＝０,则a＝０或b＝０”． (３)两种类型: ①提公因式法:把多项式的公因式提 到括号外面,将多项式写成因式乘积 的形式． ②利用公式法:平方差公式和完全平 方公式． 利用提公因式法分解因式解一元二 次方程 【例２】用因式分解法解下列方程: (１)x２＋２x＝０; (２)(x－３)２＋４x(x－３)＝０; (３)(甘肃兰州中考)２y２＋４y＝y＋２; ０４ (４)(１－x)２－２x(x－１)＝０． 解:(１)将方程左边提公因式,得x(x＋ ２)＝０． 所以x＝０或x＋２＝０． 解得x１＝０,x２＝－２． (２)将方程左边提公因式,得(x－３)(x－ ３＋４x)＝０,即(x－３)(５x－３)＝０． 所以x－３＝０或５x－３＝０． 解得x１＝３,x２＝ ３ ５． (３)将原方程移项变形为２y(y＋２)－ (y＋２)＝０,提公因式,得(y＋２)(２y－ １)＝０,所以y＋２＝０或２y－１＝０,解得 y１＝－２,y２＝ １ ２． (４)原方程可变形为(x－１)２－２x(x－ １)＝０． 将方程左边提公因式,得 (x－１)(x－１－２x)＝０, 即(x－１)(－x－１)＝０． 所以x－１＝０或－x－１＝０． 解得x１＝１,x２＝－１． 4 　　利用提公因式法分解因式时,由 于b－a＝－(a－b),(a－b)２＝(b－ a)２,故互为相反数的两个代数式可以 较容易地找到公因式． 利用公式法分解因式解一元二次 方程 【例３】(１)x２－２x＋１＝３; (２)x２－６x＋９＝２x２－１８． 解:(１)移项、整理,得(x－１)２－３＝０． 分解因式,得 (x－１＋ ３)(x－１－ ３)＝０． 所以x－１＋ ３＝０或x－１－ ３＝０． 所以原方程的解为x１＝１－ ３,x２＝ １＋ ３． (２)方程两边分别分解因式,得 (x－３)２＝２(x＋３)(x－３)． 移项,得 (x－３)２－２