22.1 一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

- @     第２２章　一元二次方程 ２２．１　一元二次方程


● 理解一元二次方程的概念,能判断一个方程是不 是一元二次方程． ● 了解一元二次方程的一般形式:ax２＋bx＋c＝０ (a、b、c是已知数,a≠０);会将一元二次方程化成 一般形式,并能说出一元二次方程的二次项系数、 一次项系数和常数项． ● 理解一元二次方程根(解)的概念,会判断给定的 一个未知数的值是不是一元二次方程的根． ● 经历从实际问题中抽象出一元二次方程的过程, 进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个 有效模型． 　　 J 知识点一　一元二次方程的概念 填空:(１)一块面积为６００平方米的矩 形土地,它的长比宽多１０米,求矩形 土地的长与宽．若设矩形土地的长为x 米,则它的宽为(x－１０)米．根据题意, 得方程为x(x－１０)＝６００,整理,得 x２－１０x－６００＝０． (２)已知两个连续偶数的积是１２０,求 这两个数．若设较小的偶数为x,则较 大的偶数是(x＋２)．根据题意,得方程 为x(x＋２)＝１２０,整理,得x２＋２x－ １２０＝０． 归纳:观察１中两个问题整理所得到 的方程的共同特点是,都是整式方程, 只含有一个未知数,并且未知数的最 高次数是２． 　一元二次方程:在整式方程中,只含 有一个未知数,并且未知数的最高次 数是 ２,这 样 的 方 程 叫 做 一 元 二 次 方程． M  > M　   > M ２３ 一元二次方程必须同时满足以下三个 条件: (１)是整式方程; (２)只含有一个未知数; (３)未知数的最高次数是２．三者缺一 不可． 【例１】下列方程中,哪些是 一 元 二 次 方程? (１)３x２＋ １ x－２＝０ ; (２)－２x２＝０; (３)x２＝６; (４)x２－xy＋１＝０; (５)２x２＋２x＝５＋２x２; (６)t２－３t＋１＝０． 解:(１)分母中含有未知数,不是整式 方程,所以不是一元二次方程． (２)是一元二次方程． (３)整理,得x２－６＝０,是一元二次 方程． (４)方程中含有x、y 两个未知数,不是 一元二次方程． (５)整理,得２x－５＝０,未知数的最高 次数是１,故不是一元二次方程． (６)是一元二次方程． 4 　　判断方程是不是一元二次方程, 首先要化简,使方程的右边为０,左边 合并同类项,然后观察是否满足一元 二次方程的三个条件,三者缺一不可． 知识点二　一元二次方程的 一般形式 一元二次方程的一般形式:任何一 个一元二次方程都可以化成ax２＋ bx＋c＝０(a、b、c 是已知数,a≠０)的 形式,这种形式叫做一元二次方程的 一般形式． 其中ax２、bx、c分别叫做二次项、一次 项和常数项,a、b 分别叫做二次项系 数、一次项系数． (１)要注意a≠０这一重要条件． (２)一元二次方程的二次项系数、一次 项系数和常数项是针对一元二次方程 的一般形式而言的,因此解题时,要先 把一 元 二 次 方 程 化 为 一 般 形 式,再 解答． (３)关于x 的一元二次方程中,x 为 未知数,其他字母应看做是系数． 【例２】将下列方程化为一般形式,并分 别指出它们的二次项系数、一次项系 数及常数项． (１)９x２＝５x; (２)２y２＝y－７; (３)(２x－１)(３x＋２)＝x－２; ３３ (４) x２ ３－ x＋１ ２ ＝１． 解:(１)移项,得９x２－５x＝０． 所以二次项系数为９,一次项系数为 －５,常数项为０． (２)移项,得２y２－y＋７＝０． 所以二次项系数为２,一次项系数为 －１,常数项为７． (３)去括号,得６x２＋x－２＝x－２． 移项,得６x２＋x－２－x＋２＝０． 合并同类项,得６x２＝０． 所以二次项系数为６,一次项系数为０, 常数项为０． (４)去分母,得２x２－３(x＋１)＝６． 去括号、移项、合并同类项,得 ２x２－３x－９＝０． 所以二次项系数为２,一次项系数为 －３,常数项为－９． 4 　　确定一元二次方程的各项及其系 数,必须先通过去括号、移项、合并同 类项等变形把方程化为一般形式．如 果二次项系数小于０,一般先将其转 化为大于０的数;缺少一次项或常数 项的方程,其对应项的系数为０． 知识点三　一元二次方程 的根(拓展) 方程的根:只含一个未知数的方程的 解,也叫做方程的根． 一元二次方程的根:使一元二次方程 左右两边相等的未知数的值叫做一元 二次方程的解,也叫做一元二次方程 的根． (１)一元二次方程的根满足的条件: ①未 知 数 的 值;② 使 方 程 左 右 两 边 相等． (２)判断一个数值是不是一元二次方 程的根的方法:将这个数值代入一元 二次方程,看方程左右两边是否相等． 若左右两边相等,则这个值就是一元 二次方程的根