21.3 二次根式的加减-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

２１．３　二次根式的加减


● 理解同类二次根式的概念,会判断几个二次根式 是否为同类二次根式． ● 掌握二次根式加减法运算法则,会进行二次根式 的加减运算． ● 会在二次根式的混合运算中运用乘法公式,能进 行二次根式的简单的四则运算． ● 会运用二次根式的相关知识解决生活中的相关 问题． 　　 J 知识点一　同类二次根式 填空:(１)二次根式 ３、３ ３、３３ 都是 最简二次根式,它们的被开方数都是３; (２)二次根式 a、－３ a、２ a都是最 简二次根式,它们的被开方数都是a． 归纳: 这两个问题的共同特点: (１)都是最简二次根式; (２)被开方数相同． 　同类二次根式的定义 几个二次根式化成最简二次根式后, 如果被开方数相同,那么这几个二次 根式就是同类二次根式． (１)理解同类二次根式的定义应注意 的问题: ①判断几个二次根式是否为同类二次 根式,必须先将二次根式化为最简二 次根式,再看它们的被开方数是否相 同．②几个二次根式是否为同类二次 根式,只与被开方数及根指数是否相 同有关,而与根号前面的系数无关． (２)同类二次根式与同类项类似．例 如,－２x 与 ３x 是同类项,－２ ３与 ３３是同类二次根式,－２ x 与３x 是同 类 二 次 根 式．由 于 ８ ＝２２, － ５０＝－５ ２,故 ８与－ ５０也是 同类二次根式． ８１ 0

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  【例１】(四川巴中中考)下列二次根式 中,与 ３是同类二次根式的是 (　　) A．１８ B． １ ３ C．２４ D．０．３ 解析:A选项,１８＝３ ２,与 ３不是同 类二次根式,故此选项不合题意; B选项, １ ３＝ ３ ３ ,与 ３是同类二次根 式,故此选项符合题意; C选项,２４＝２ ６,与 ３不是同类二 次根式,故此选项不合题意; D选项,０．３＝ ３ １０＝ ３０ １０ ,与 ３不是 同类二次根式,故此选项不合题意． 答案:B 4 同类二次根式必须满足的条件 (１)都含有二次根号“ 　”; (２)化 成 最 简 二 次 根 式 后 被 开 方 数 相同． 知识点二　合并同类二次根式 　法则:将同类二次根式的系数相加减, 被开方数和根指数不变． 合并同类二次根式的方法 合并同类二次根式类似于合并同 类项,可类比合并同类项的法则进行 合并． 【例２】合并下列同类二次根式: (１)２３＋ ( － １ ３ ３) ; (２)２＋２２－ １ ２ ２ ; (３)３x y－y y＋ １ ２x y． 解:(１)原式＝ (２－ １ ３) × ３＝ ５ ３ ３． (２)原式＝ (１＋２－ １ ２) × ２＝ ５ ２ ２． (３)原式＝ (３x－y＋ １ ２x ) y＝ ( ７ ２x－ y) y． 4 　　根据合并同类二次根式的法则求 解这类题,注意不要漏掉系数为１的 二次根式． 知识点三　二次根式的加减法 填空: ８＋ １８＋ ２４＝２２＋３２＋２６＝ (２＋３)× ２＋２６＝５２＋２６． 归纳:解答这类计算问题的一般步骤 如下:先将各二次根式化成最简二次 ９１ 根式,再将同类二次根式合并．   > M 二次根式的加减运算 二次根式的加减实质上就 是合并同类二次根式,即先把各个二 次根式化成最简二次根式,再将其中 的同类二次根式合并． 二次根式的加减运算需注意的问题 (１)二次根式的加减运算与整式的加 减运算类似,只需将同类二次根式的 系数相加减,根指数不变,被开方数也 不变． (２)在二次根式的加减运算中,加法运 算律中的交换律、结合律以及去括号 和添括号的法则仍然适用． (３)二次根式的加减运算的结果应写 成最简形式,系数是带分数的一定要 写成假分数． 【例３】(１)计算４ １ ２＋３ １ ３－ ８ 的结 果是 (　　) A．３＋ ２ B．３ C． ３ ３ D．３－ ２ (２)(辽 宁 营 口 中 考)化 简 ２７ ＋ ３－ １２的结果是 (　　) A．０ B．２ C．－２３ D．２３ 解析:(１)原式＝２２＋ ３－２２＝ ３． (２)２７＋ ３－ １２＝３３＋ ３－２３＝ ２３． 答案:(１)B　(２)D 4 　　本题考查了二次根式的加减运 算．解题的步骤是先把各个二次根式 化成最简二次根式,再合并同类二次 根式．对于有括号的二次根式的加减 运算,一般是先去括号,再把各个二次 根式化成最简二次根式,最后合并同 类二次根式． 知识点四　二次根式的混合运算 　二次根式的混合运算实质上就是有理 数与无理数的混合运算,是二次根式 加、减、乘、除和乘方运算法则的综合 运用． M  > M　   > M (１)二次根式的混合运算顺序与实数 的混合运算顺序一样,先乘方,再乘 除,最后加减,有括号的先算括号里 面的． (２)实数运算中的运算律(交换律