21.2 二次根式的乘除-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

２１．２　二次根式的乘除


● 理解二次根式的乘、除法运算法则,会进行简单的 二次根式的乘除运算． ● 会利用积的算术平方根的性质 ab＝ a􀅰 b(a≥ ０,b≥０),商的算术平方根的性质 a b ＝ a b (a≥０, b＞０)对二次根式进行化简． ● 了解最简二次根式的概念,会识别最简二次根式, 并掌握把二次根式化为最简二次根式的方法． 　　 J 知识点　二次根式的乘法 填空:(１)因为 ４× ９＝２×３＝６, ４×９＝ ３６＝６,所以 ４× ９＝ ４×９． (２)因为 ９× １６＝３×４＝１２,９×１６＝ １４４＝１２, 所以 ９× １６＝ ９×１６． M  > M 归纳:两 个 二 次 根 式 相 乘,根指数不变,只把被 开方数相乘．   > M 二次根式的乘法法则 (１)字母表示:a􀅰 b＝ ab (a≥０,b≥０)． (２)语言叙述:两个算术平方根的积,等 于它们被开方数的积的算术平方根． 规定:在本章中,如果没有特别说明,字 母都表示正数． 理解二次根式的乘法法则的注意事项 (１)公式中的a、b必须满足a≥０,b≥ ０这个条件,否则 a、b就没有意义, 如 －２、 －３就没有意义． (２)公式中的字母可以是非负数,也可 以是值为非负数的代数式． ８ 0

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  　　二次根式的乘法法则可推广到多 个二次根式相乘的运算,如 x􀅰 y􀅰 z＝ xyz(x≥０,y≥０,z≥０)． 【例１】计算:(１)５× １３; (２) １ ３× １０８ ; (３) ５ ３× ９ １２５× ３ ; (４)６２７×(－２３)． 解:(１)５× １３＝ ５×１３＝ ６５． (２) １ ３× １０８＝ １ ３×１０８＝ ３６＝６． (３) ５ ３× ９ １２５×３＝ ５ ３× ９ １２５×３＝ ９ ２５＝ ３ ５． (４)６ ２７×(－２ ３)＝６×(－２)× ２７×３＝－１２×９＝－１０８． 4 计算二次根式相乘的方法 (１)二次根式相乘,把被开方数相乘,根 指数不变． (２)当二次根式前面有系数时,其运算 可类比单项式与单项式相乘的法则进 行计算,步骤如下:先确定积的系数, 再把被开方数相乘．例如,a x􀅰by＝ abxy(x≥０,y≥０)． 知识点　积的算术平方根 积的算术平方根的性质 (１)字母表示:ab＝ a􀅰b(a≥０,b≥０)． (２)语言叙述:积的算术平方根,等于各 因式算术平方根的积． (１)积的算术平方根的性质是二次根 式乘法法则的逆用． (２)ab有意义的条件:被开方数ab≥ ０,因此a 与b 同号或至少有一个为 零,即:①a＞０,b＞０;②a＜０,b＜０; ③a＝０,b 为任意实数;④b＝０,a 为 任意实数． (３)积的算术平方根的性质的应用:应 用这个性质可以化简二次根式,即若 一个二次根式的被开方数中有的因数 (式)是完全平方数(式),则可以利用 性质 ab＝ a􀅰 b(a≥０,b≥０)及 a２ ＝a(a≥０)将这些因数(式)“开 方”出来,从而将二次根式化简．例如, １２＝ ２２×３＝ ２２ × ３＝２３． 【例２】化简:(１)１０８;　(２)１４×１１２; (３)(－６)×(－８); (４)２０２－１６２; (５)８a３b(a＞０,b＞０)． ９ 解:(１)１０８＝ ３６×３＝ ６２×３＝６３． (２) １４×１１２ ＝ ２×７２×４２ ＝ ２ × ７２× ４２＝ ２×７×４＝２８２． (３) (－６)×(－８)＝ ４８＝ ４２×３＝ ４２ × ３＝４３． (４)２０２－１６２ ＝ (２０＋１６)×(２０－１６) ＝ ３６×４ ＝ ６２ × ２２ ＝６×２＝１２． (５)８a３b＝ ２２×２×a２×ab＝ ２２ × a２ × ２ab＝２a ２ab． 4 利用积的算术平方根解题的步骤 (１)把被开方数(式)分解因数(式),并 化成含有完全平方的因数(式)与其他 因数(式)的积的形式; (２)根 据 积 的 算 术 平 方 根 的 性 质 及 a２ ＝a(a≥０),将含有完全平方的 因数(式)“开方”出来; (３)得出结果． 知识点一　二次根式的除法 M  > M 填空: (１)因为 ４９ ８１ ＝ ７ ９ ,４９ ８１＝ ７ ９ , 所以 ４９ ８１ ＝ ４９ ８１． (２)因为 １６ ４ ＝２, １６ ４ ＝２ , 所以 １６ ４ ＝ １６ ４ ． 归纳:两个二次根式相除,根指数不 变,只把被开方数相除．   > M 二次根式的除法法则 (１)字母表示: a b ＝ a b (a≥ ０,b＞０)． (２)语言叙述:两个算术平方根的商,等 于它们被开方数的商的算术平方根． (１)理解二次根式的除法法则的注意 事项: ①因为b 为分母,所以被开方数a