21.1 二次根式-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

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  第２１章　二次根式   - @   ２１．１　二次根式


● 理解 二 次 根 式 的 概 念,会 判 断 二 次 根 式 是 否 有 意义． ● 会确定二次根式被开方数中字母的取值范围． ● 掌握二次根式的性质,并能应用二次根式的性质 进行计算或化简． 　　 J 知识点一　a的双重非负性及 a的算术平方根的运算性质 填空:２的算术平方根表示为 ２,０的 算术平方根表示为 ０,－２没有算术 平方根． 归纳: (１)当a 是正数时,a表示a 的算术 平方根,即正数a 的正的平方根． (２)当a 是零时,a等于０,它表示０ 的平方根,也叫做０的算术平方根． (３)当a 是负数时,a没有意义． a的双重非负性:a≥０(a≥０)． a的算术平方根的运算性质:(a)２＝ a(a≥０)． (１)a具有双重非负性的原因:①要 使 a有意义,被开方数a 必须是一个 非负数,即a≥０;②因为 a(a≥０)表 示非负数a 的算术平方根,由算术平 方根的定义可知,a≥０． (２)(a)２＝a(a≥０)的原因:因为 a (a≥０)表示非负数a 的算术平方根, 所以 (a)２ ＝a．例 如,(２)２ ＝２, ( １ ２ ) ２ ＝ １ ２． １ (３)(a)２＝a(a≥０)的应用: ①正用:去掉根号,起到化简的作用; ②逆用:把一个非负数写成平方的形 式,在实数范围内可分解因式． 应用 a的双重非负性解决问题 【例１】若x、y满足 ２x－１＋２(y－１)２＝ ０,则x＋y 的值等于 (　　) A．１　　　B． ３ ２　　　C．２　　　D． ５ ２ 解析:由题意,得 ２x－１＝０ , ２(y－１)２＝０,{ 即 ２x－１＝０, y－１＝０,{ 解得 x＝ １ ２ , y＝１． ì î í ï ï ïï 所以x＋y＝ ３ ２． 答案:B 本题是考查两个非负数的和为０ 的问题,解决这类问题要抓住“几个非 负数的和为０,则这几个数都为０”这 一结论．注意常见的非负数的三种形 式:a 、a２、a． (a)２＝a(a≥０)的应用 【例２】计算:(１)(１０)２;　(２)( ３ ５ ) ２; (３)(－３２)２． 解:(１)(１０)２＝１０． (２)( ３ ５ ) ２ ＝ ３ ５． (３)(－３ ２)２＝(－３)２×(２) ２ ＝９× ２＝１８． 4 对于(a)２ 的计算,可直接应用 (a)２＝a(a≥０)进行计算;对于形如 ba(a≥０)的平方运算,要按积的乘 方运 算 的 法 则 来 计 算,即 (ba)２ ＝ b２􀅰(a)２＝b２􀅰a＝ab２,同时要注 意平方的结果是一个非负数． 知识点二　二次根式的概念 　形如 a(a≥０)的式子叫做二次根式． 其中“ 　”叫做“二次根号”,a 叫做被 开方数．二次根式 a的实质是表示一 个非负数a 的算术平方根． M  > M　   > M 理解二次根式的概念应注意的问题 (１)从形式上看,二次根式都含有二次 根号“　”． (２)在二次根式 a中,a 的取值必须 满足a≥０,即二次根式的被开方数必 须是非负数．因为负数没有平方根,所 以当a＜０时,a没有意义． (３)在二次根式 a中,被开方数a 可 以是数,也可以是含有字母的代数式, 但字母的取值必须使代数式的值是一 个 非 负 数,如 ３、 x－２ (x≥２)、 a２＋１等都是二次根式． (４)“ 　”的根指数为２,即“ ２ 　 ”,常 省略根指数２,写成“ 　 ”,不要误以 为“ 　”的根指数是０或１． ２ 0

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  【例３】下列式子,哪些是二次根式? 哪 些不是? 为什么? (１)２;　(２) ３ ２;　(３) －３; (４)４;　(５) －x(x＜０); (６)x２;　(７)２x２＋y２． 解:(１)(４)(５)(７)中不仅含有二次根 号“ 　 ”,而且被开方数都是非负数, 符合二次根式的定义,所以是二次根 式;(２)中的根指数是３,不是２,所以不 是二次根式;(３)中的被开方数小于０, 所以不是二次根式;(６)中不含二次根 号“ 　”,所以不是二次根式． 4 判断一个式子是不是二次根式的 关键是看这个式子是否同时具备二次 根式的两个特征:(１)含有二次根号 “ 　”;(２)被开方数是非负数(正数 或０)．只有同时满足这两个特征才是 二次根式;否则,不是二次根式． 知识点三　二次根式的性质 填空:２２ ＝ ４＝２; (－２)２ ＝ ４＝ ２;３２ ＝ ９＝３; (－３)２ ＝ ９＝３． 归纳:若二次根式的被开方数是一个 完全平方数,则可以“开方”．   > M 当a≥０时,a２ ＝a; 当a＜０时,a２ ＝－a． (１)a２ 与(a)２ 的异同点: 不同点:①各自表示的意义