第11章 数的开方 章末整合提升-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

章末整合提升 专题一　平方根、算术平方根、立方根 　　理解平方根、算术平方根、立方根 的概念的三个角度： １．表示方法:数a 的平方根表示为± a (a≥０),算术平方根表示为 a(a≥０), 立方根表示为 ３a(a为全体实数)． ２．符号:数a(a≥０)的平方根有两个，符号 相反，算术平方根为正的平方根，立方 根与数a的符号相同． ３．个数:０和正数才有平方根和算术平方 根，０的平方根、算术平方根都是０， 正数的平方根有两个，正数的算术平 方根有一个，任意实数都有且只有一 个立方根． 例１３是２a－１的算术平方根,－１是２b－ a 的 立 方 根,则a＋２b 的 平 方 根 是 ．　 解析:因为３是２a－１的算术平方根, －１是２b－a 的立方根, 所以 ２a－１＝３２, ２b－a＝(－１)３．{ 解得 a＝５, b＝２．{ 所以a＋２b＝９． 又因为± ９＝±３, 所以所求平方根为±３． 答案:±３ " 　　解决此类题的关键是明确乘方与 开方互为逆运算,明确平方根、算术平 方根、立方根的性质,如本题中涉及的 一个正数的平方根有两个,它们互为 相反数． 专题二　非负数的应用 １．类型 非负数即正数和零，我们已学过的非 负数 有 以 下 三 种 类 型:a２,a (a≥ ０),|a|． ２．应用 (１)非负数都大于或等于０； (２)如果几个非负数的和等于０，那么 ７１ 它们分别等于０． 例２若 x－２y＋９与|x－y－３|互为相 反数,则x＋y＝ ． 解析:因为 x－２y＋９与|x－y－３|互为 相反数,所以 x－２y＋９＋|x－y－ ３|＝０,　 所以 x－２y＋９＝０, x－y－３＝０,{ 解得 x＝１５, y＝１２．{ 所以x＋y＝１５＋１２＝２７． 答案:２７ " 　　解决非负数问题时,利用“如果几 个非负数的和等于０,那么它们分别 等于０”这个性质建立方程组是解题 的关键． 专题三　实数的有关概念 　　实数的有关概念包括无理数的识别 和实数的相反数、绝对值等． １．无理数:识别的关键是掌握无理数常见 的三种形式:(１)开方开不尽的数的方 根；(２)具有特定结构的数；(３)某些 含有 π 的数． ２．相反数、绝对值:实数a的相反数为－a； 实数a 的绝对值要根据“正数和０的 绝对值是它本身，负数的绝对值是它 的相反数”求解． 例３ (１)(湖北宜昌中考)下 列 各 数: １．４１４、２、－ １ ３ 、０,其中是无理数的为 (　　) A．１．４１４ B．２ C．－ １ ３ D．０ (２)计算:|２－ ５|＋|５－ ７|＋|７－ ３|＝ ． 解析:(１)１．４１４是有限小数,－ １ ３ 是分数, ０是整数,它们都是有理数,只有 ２是 无限不循环小数．根据无理数的概念, 知 ２是无理数．故选B． (２)|２－ ５|＋|５－ ７|＋|７－３| ＝ ５－２＋ ７－ ５＋３－ ７ ＝１． 答案:(１)B　(２)１ F 　　无理数的识别主要是熟记无理数 常见的类型,特别注意所有的分数都 是有理数．对于绝对值的计算,要先判 断绝对值符号里面数的正负性． 专题四　实数的大小比较 　　利用数轴进行实数大小比较的法 则:数轴上右边的点表示的实数比左边 的点表示的实数大．两个负数进行比较 时，可比较它们的绝对值，绝对值大的 反而小．两个正实数的大小比较，一般用 作差法、作商法、作平方法等． 例４比较２、５、 ３ ７的大小,正确的是 (　　) A．２＜ ５＜ ３ ７ B．２＜ ３ ７＜ ５ C．３７＜２＜ ５ D．５＜ ３ ７＜２ 解析:因为２＝ ４＝ ３ ８,而５＞４,７＜８, 所以 ５＞ ４＝２, ３ ７＜ ３ ８＝２, 所以 ３ ７＜２＜ ５． 故选C． 答案:C ８１ " 　　比较正有理数与带根号的正无理 数的大小时,可以将正有理数转化为 一个带根号的数,用比较被开方数的 大小的方法比较正有理数和正无理数 的大小(被开方数越大,它的算术平方 根、立方根也越大)． 专题五　实数的运算 　　数从有理数扩充到实数后，有理数的 运算律、运算法则等在实数范围内仍适用． 例５计算:２２＋|－１|－ ４． 分析:先分别求得平方、绝对值以及算术 平方根,再按照运算顺序进行计算． 解:原式＝４＋１－２＝３． F 　　解决这类问题时,对实数的基本 运算要熟悉,如 a(a≥０)是求a 的算 术平方根． 专题六　思想方法专题 １．转化思想 学习了平方根和算术平方根之后，运 用转化思想可以将某些解二次方程和 三次方程的问题转化为求平方根和立 方根的问题． 例６解方程:(１)(x＋２)２－２５＝０; (２)(x－２)３＝８． 分析:(１)先移项变形为(x＋２)２＝２５的 形式,再根据平方根的定义求解． (２)直接开立方求解． 解:(１)因为(x＋２)２