14.1 勾股定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)





 第１４章　勾股定理 １４．１　勾股定理


● 体验勾股定理的探索过程,掌握勾股定理的内容,已 知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边． ● 掌握勾股定理的逆定理,理解它与勾股定理的关系． ● 会运用勾股定理及其逆定理解决相关问题(如测 量湖两岸定点之间的距离、判定直角三角形等)． ● 了解勾股数的概念． ● 结合实例了解反证法,知道反证法证明的一般步骤． ● 会用反证法进行简单的几何证明． 　　 J 知识点　勾股定理 等腰直角三角形中三边之间的关系 (１)观察:正方形瓷砖铺成的地面如图 １４．１Ｇ１所示,图中着色的两个小正方 形P、Q 可以拼接成大正方形R,所 以,P 的面积＋Q 的面积＝R 的面积, 即AC２＋BC２＝AB２． 图１４．１Ｇ１ (２)归纳:在等腰直角三角形ABC 中, 两直角边的平方和等于斜边的平方． 一般的直角三角形中三边之间的 关系 (１)观察:如图１４．１Ｇ２,如果每一小方 格表示１平方厘米,那么可以得到: 正方形P 的面积＝９平方厘米; 正方形Q 的面积＝１６平方厘米; 正方形R 的面积＝２５平方厘米． 所以,正方形P 的面积＋正方形Q 的 面积＝正方形R 的面积． ４４１ 图１４．１Ｇ２ (２)归纳:Rt△ABC 的三边长度之间 存在的关系是AC２＋BC２＝AB２(两直 角边的平方和等于斜边的平方)．   > M 勾股定理的描述 (１)字母表示:对于任意 的直角三角形,如果它的两条直角边分 别为a、b,斜边为c,那么一定有a２＋ b２＝c２,这种关系我们称为勾股定理． (２)语言叙述:直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方． '. 　　理解勾股定理应注意的问题: (１)勾股定理揭示的是直角三角形三 边之间的数量关系,它是解决直角三 角形问题的重要依据．勾股定理是一 个重要的数学定理,它将图形(直角三 角形)与数量关系(三边关系)结合起 来,体现了数形结合思想． (２)勾股定理只适用于直角三角形．  　　由勾股定理的基本关系式a２＋ b２＝c２,还可得到一些变形关系式,如 a２＝c２－b２＝(c＋b)􀅰(c－b),b２＝ c２ －a２ ＝ (c ＋a)(c －a),c ＝ a２＋b２,a＝ c２－b２,b＝ c２－a２等． 勾股定理的证明 方法一:如图１４．１Ｇ３所示,将四个全等的 直角三角形与一个小正方形拼成一个大 正方形,则大正方形的面积＝四个直角 三角形的面积＋小正方形的面积, 所以(a＋b)２＝４× １ ２ab＋c ２, 整理,得a２＋b２＝c２． 图１４．１Ｇ３ 方法二:如图１４．１Ｇ４所示,将四个全 等的直角三角形和一个小正方形拼成 一个大正方形,则小正方形的面积＝ 大正方形的面积－四个直角三角形的 面积,所以(b－a)２＝c２－４× １ ２ab , 整理,得c２＝a２＋b２． 图１４．１Ｇ４ ５４１ '. (１)证明方法:勾股定理的证明用的是 拼图法． (２)证明思路:首先拼出图形,找出图 形面积的不同表示方式,然后根据面 积列等式,最后化简整理即可推导出 勾股定理． 利用勾股定理计算 【例１】在△ABC 中,∠C＝９０°,AB＝c, BC＝a,AC＝b． (１)若a＝２０,b＝１５,求c; (２)若a＝４０,c＝４１,求b; (３)若c＝３４,a∶b＝８∶１５,求△ABC 的面积． 解:(１)根据勾股定理,得a２＋b２＝c２, 所以c＝ a２＋b２ ＝ ２０２＋１５２ ＝２５． (２)根据勾股定理,得a２＋b２＝c２, 所以b＝ c２－a２ ＝ ４１２－４０２ ＝９． (３)因为a∶b＝８∶１５, 所以设a＝８x,b＝１５x． 根据勾股定理,得a２＋b２＝c２, 所以c＝ a２＋b２ ＝ (８x)２＋(１５x)２ ＝ １７x＝３４,所以x＝２, 所以a＝１６,b＝３０, 所以S△ABC＝ １ ２ab＝ １ ２×１６×３０＝２４０． 4 　　勾股定理只适用于直角三角形． 已知直角三角形任意两边的长度,就 可以求出第三边的长度． 利用勾股定理建立等量关系,列方 程解决问题 【例２】如图１４．１Ｇ５,在直角三角形纸片 ABC 中,∠C＝９０°,AC＝６,BC＝８,折 叠△ABC 的一角,使点 B 与点A 重 合,展开得折痕DE,求BD 的长． 图１４．１Ｇ５ 解:由折叠可知,△ADE≌△BDE, 所以AD＝BD． 设BD＝x,则AD＝x,CD＝８－x． 在Rt△ACD 中,由勾股定理,得 AC２＋CD２＝AD２, 所以６２＋(８－x)２＝x２,解得x＝ ２５ ４． 所以BD 的长是 ２５ ４． 4 　　直角三角形中已知两边的等量关 系和其中一边的长度时,可以利用勾 股定理列方程求解． 利用勾股定理解决实际问题 【例３】如图１４．１Ｇ