13.5 逆命题与逆定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

１３．５　逆命题与逆定理


● 能说出一个命题的逆命题．理解逆命题与逆定理的 概念,会识别互逆命题． ● 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其 逆定 理,并 会 应 用 这 些 知 识 进 行 有 关 的 计 算 和 证明． 　　 J 知识点一　互逆命题 表示判断的语句叫做命题．命题由条 件和结论两部分组成． 如果条件成立,那么结论一定成立,这 样的命题,称为真命题;条件成立时,结 论不成立,这样的命题,称为假命题． 互逆命题:在两个命题中,如果第一个 命题的条件是第二个命题的结论,而 第一个命题的结论是第二个命题的条 件,那么这两个命题叫做互逆命题．如 果把其中一个命题叫做原命题,那么 另一个命题就叫做它的逆命题． '. (１)任何一个命题都有逆命题． (２)对“如果􀆺􀆺,那么􀆺􀆺”形式的命 题,只需将“如果”连结的部分与“那 么”连结的部分互换,即可得到它的逆 命题． (３)原命题的真假与其逆命题的真假 没有任何关系,即原命题正确,其逆命 题不一定正确;原命题错误,其逆命题 也有可能正确． 【例１】写出下列命题的逆命题,并判断 这些逆命题的真假． (１)如果∠α与∠β是邻补角,那么∠α＋ ∠β＝１８０°; (２)如果一个三角形的两个内角相等, 那么这两个内角所对的边相等． 解:(１)逆命题:如果∠α＋∠β＝１８０°, 那么∠α与∠β是邻补角．这是假命题． (２)逆命题:如果一个三角形的两条边 相等,那么这两条边所对的内角相等． 这是真命题． １２１ 4 写一个命题的逆命题的两个步骤 (１)分清原命题的条件和结论; (２)交换原命题的条件和结论,写成命 题的形式,同时要添加适当的词语,使 语句通顺． 知识点二　互逆定理 从基本事实或其他真命题出发,用逻 辑推理的方法判断它们是正确的,并 且可以作为进一步判断其他命题真假 的依据的真命题叫做定理． 互逆定理:如果一个定理的逆命题也 是定理,那么这两个定理叫做互逆定 理,其中的一个定理叫做另一个定理 的逆定理． '. (１)互逆定理是一种特殊的互逆命题, 其特殊性体现在原命题与其逆命题都 是真命题,且都是定理．互逆的定理, 其条件与结论互换,说明问题时,其推 理的方向正好相反． (２)一个定理一定有逆命题,但不一定 有逆定理,即一个定理的逆命题可能 是假命题,也可能是真命题． 命题一定有逆命题,定理不一定有逆定理． 【例２】下列命题互为逆定理吗? 如果不 是,请说明理由． (１)“两直线平行,同旁内角互补”与 “同旁内角互补,两直线平行”; (２)“如果三角形有一个内角是钝角, 那么它的另外两个内角一定是锐角” 与“如果一个三角形的两个内角是锐 角,那么三角形的另一个角是钝角”． 解:(１)中的两个命题互为逆定理． (２)中的两个命题不互为逆定理,原因 是命题“如果一个三角形的两个内角 是锐角,那么三角形的另一个角是钝 角”是假命题． 4 　　互逆定理必须满足两个命题都是 真命题,如果有一个命题是假命题,就 不是互逆定理． 知识点　线段垂直平分线 的性质定理及其逆定理 线段是轴对称图形,线段的垂直平分 线是线段的对称轴． 线段垂直平分线的性质 (１)操作:如图１３．５Ｇ１,直线 MN 是线 段AB 的垂直平分线,P 是MN 上任 一点,连结PA、PB．将线段AB 沿直 线MN 对折,我们发现PA 与PB 完 全重合,即PA＝PB． ２２１ 图１３．５Ｇ１ (２)证明:因为 MN 是线段AB 的垂直 平分线, 所以∠ACP＝∠BCP＝９０°,AC＝BC． 在△APC 和△BPC 中, 因为AC＝BC, ∠ACP＝∠BCP, PC＝PC, 所以△APC≌△BPC(S．A．S．)． 所以PA＝PB(全等三角形的对应边 相等)． 到线段两端距离相等的点在线段的 垂直平分线上 (１)猜想:如图１３．５Ｇ２,已知QA＝QB, 那么 点 Q 在 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线上． 图１３．５Ｇ２ (２)证明:如图１３．５Ｇ２,过点Q 作MN⊥ AB,垂足为点C, 故∠QCA＝∠QCB＝９０°． 在Rt△QCA 和Rt△QCB 中, 因为QA＝QB, QC＝QC, 所以Rt△QCA≌Rt△QCB(H．L．)． 所以AC＝BC(全等三角形的对应边 相等)． 所以点Q 在线段AB 的垂直平分线上． 性质定理 (１)文字语言:线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等． (２)符号语言:如图１３．５Ｇ１,因为MN⊥ AB,垂足为点C,AC＝BC,P 为直线 MN 上的一点,所以PA＝PB． 性质定理的逆定理 (１)文字语言:到线段两端距离相等的 点在线段的垂直平分线上． (２)符号语言:如图１３．５Ｇ２,因为QA＝ QB,所以点Q 在线段AB 的垂直平分