13.4 尺规作图-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

１３．４　尺规作图


● 了解尺规作图的定义,会用尺规作图完成五种基 本作图,能写出主要作图步骤． ● 会用基本作图画三角形等较简单的几何图形． ● 能用尺规作图的方法解答一些简单的实际问题． 　　 J 知识点一　尺规作图 尺规作图:只能使用圆规和没有刻度 的直尺这两种工具作几何图形的方法 称为尺规作图． 几何作图问题一般都是由若干个基本 作图(本书列举的这５种作图)组合而 成的． '. 　　画射线用直尺,截取线段用圆规, 作图时要正确使用作图工具,尽量减 小误差,保留作图痕迹． 【例１】下列属于尺规作图的是 (　　) A．用量角器画出∠AOB 的平分线OC B．已 知 ∠α,作 ∠AOB,使 ∠AOB ＝ ２∠α C．画线段AB＝３cm D．用三角尺画AB 的垂线 解析:A 项和 D 项中使用的工具分别 为量角器和三角尺,C 项中要画线段 AB＝３cm,需要用刻度尺测量,所以 都不符合尺规作图的定义,只有 B 项 可以通过尺规作图来完成． 答案:B 4 　　尺规作图在操作过程中,不允许 有度量成分． 知识点二　作一条线段 等于已知线段 　如图１３．４Ｇ１,已知:线段 MN． 求作:线段AC＝MN． １１１ 作法:第一步:作射线AB; 第二步:在射线AB 上截取线段AC＝ MN．　 线段AC 就是所要求作的线段． 图１３．４Ｇ１ '. 　　作线段的和或差时,注意截取的 方向,并保留作图痕迹． 【例２】如图１３．４Ｇ２,已知线段AB 和CD． 图１３．４Ｇ２ (１)作一条线段,使它等于AB＋CD; (２)作一条线段,使它等于AB－CD． 解:(１)如图１３．４Ｇ３,线段EF 即为所求． 图１３．４Ｇ３ (２)如图１３．４Ｇ４,线段GH 即为所求． 图１３．４Ｇ４ 4 　　求作线段的和与差,一般是先画 一条射线,再在这条射线上截取相应 的线段．求和时顺次截取叠加,求差时 从线段中截去． 知识点　作一个角等于 已知角 　如图１３．４Ｇ５,已知∠AOB, 求作:∠A′O′B′＝∠AOB． 图１３．４Ｇ５ 作法: 第一步:任取一点O′,作射线O′A′; 第二步:以点O 为圆心,以适当长为半 径作圆弧,交 OA 于点C,交 OB 于 点D; 第三 步:以 点 O′为 圆 心,以 OC(或 OD)的长为半径作圆弧,交 O′A′于 点C′; 第四步:以点C′为圆心,以CD 的长为 半径作圆弧,两弧交于点D′; 第五步:过点D′作射线O′B′． ∠A′O′B′就是所要求作的角． 证明:如图１３．４Ｇ５,连结CD、C′D′． 因为 OC＝O′C′,OD＝O′D′,CD＝ C′D′, 所以△OCD≌△O′C′D′(S．S．S．), 所以∠AOB＝∠A′O′B′(全等三角形 的对应角相等)． 归纳:作一个角等于已知角的依据是 三角形全等的判定方法“边边边”和全 等三角形的性质． ２１１ '. 　　在利用基本作图法作三角形时, 已知两边和夹角、两角和夹边、三边, 可利用作一条线段等于已知线段、作 一个角等于已知角,分别作出相应的 三角形． 【例３】如图１３．４Ｇ６,已知∠α、∠β,用尺 规作∠AOB＝２∠α＋∠β． 图１３．４Ｇ６ 解:如 图 １３．４Ｇ７,作 ∠AOC ＝ ∠α, ∠COD ＝ ∠α,∠DOB ＝ ∠β,则 ∠AOB＝２∠α＋∠β． 图１３．４Ｇ７ 4 　　作角的和时,沿着角的一边按照 一个方向依次作出每一个角,这个角 的始边与终边组成的角就是所要求作 的几个角的和;作角的差时,先作被减 的角,再以这个角的一条边为一边,在 这个角的内部作出要减的角,其余的 两条边所组成的角就是要求作的角． 知识点　作已知角的平分线 　如图１３．４Ｇ８,∠AOB 为已知角,用直 尺和 圆 规 准 确 地 作 出 ∠AOB 的 平 分线． 图１３．４Ｇ８ 作法:第一步:在射线OA、OB 上,分 别截取OD、OE,使OD＝OE; 第二步:分别以点 D 和点E 为圆心、 适当长(大于线段DE 长的一半)为半 径 作 圆 弧,在 ∠AOB 内,两 弧 交 于 点C; 第三步:作射线OC． 射线OC 就是所要求作的∠AOB 的 平分线． 证明:如图１３．４Ｇ９,连结EC、DC． 因为OD＝OE,DC＝EC,OC＝OC, 所以△OCD≌△OCE(S．S．S．), 所以∠AOC＝∠BOC(全等三角形的 对应角相等)． 图１３．４Ｇ９ 作已知角的平分线的理论依据是判定 ３１１ 三角形全等的“边边边”和全等三角形 的性质． '. (１)利用平分已知角的作法也可以得 到过直线上一点作这条直线的垂线的 方法． (２)用尺规平分已知角时,第一步可以 以任意长为半径作圆弧,第二步作圆 弧时要注意对半径的要求,否则会出现 两弧交点不明显或没有交