13.3 等腰三角形-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

１３．３　等腰三角形


● 了解等腰三角形和等边三角形的定义． ● 掌握等腰三角形和等边三角形的性质与判定方法． ● 进一步认识数学与现实生活的密切联系,感受数 学的严谨性与推理的逻辑性． 　　 J 知识点一　等腰三角形的 有关概念 　有两条边相等的三角形叫做等腰三角 形．相等的两边叫做腰,另一边叫做底 边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的 夹角叫做底角． 如图１３．３Ｇ１所示,在△ABC 中,AB＝ AC,则△ABC 就是等腰三角形．AB、 AC 是 腰,BC 是 底 边,∠A 是 顶 角, ∠B、∠C 是底角． 图１３．３Ｇ１ '. (１)等腰三角形是特殊的三角形,它具 备三 角 形 的 所 有 性 质,如 内 角 和 是 １８０°,两边之和大于第三边等． (２)对于等腰三角形问题中的角或边, 一般都要指明是顶角还是底角,是腰 还是底边,没说明则都有可能,要分情 况讨论． (３)等腰三角形的顶角可以是直角、钝 角或锐角,而底角只能是锐角．  　　三角形按边分类: ６９ 【例１】(江苏淮安中考)已知一个等腰三 角形的两边长分别为２和４,则该等腰 三角形的周长是 ． 解析:分两种情况讨论:(１)若等腰三 角形的腰长为２,底边长为４,因为２＋ ２＝４,所以这个三角形不存在;(２)若 等腰三角形的腰长为４,底边长为２,因 为４＋２＞４,所以该三角形存在,其周 长为１０． 答案:１０ 4 　　等腰三角形的边包括腰和底边, 在题目没有注明时,要分情况讨论,且 必须满足三角形的三边关系． 知识点二　等腰三角形的性质 如图１３．３Ｇ２,在△ABC 中,AB＝AC, 将此等腰三角形对折,让两腰AB、AC 重叠在一起． 图１３．３Ｇ２ 等腰三角形折叠的部分互相重合． ∠B＝∠C． BD＝CD,∠BAD＝∠CAD,∠ADB＝ ∠ADC＝９０°． 对称性:等腰三角形是轴对称图形． 等边对等角:等腰三角形的两底角相 等．(简写成“等边对等角”) 符号语言:在△ABC 中,因为AB＝AC, 所以∠B＝∠C． 三线合一:等腰三角形底边上的高、 中线及顶角的平分线互相重合．(简称 “三线合一”) 符号语言:如图１３．３Ｇ３． 图１３．３Ｇ３ 在△ABC 中, (１)因为AB＝AC,∠BAD＝∠CAD, 所以AD⊥BC,BD＝CD; (２)因为AB＝AC,BD＝CD, 所以∠BAD＝∠CAD,AD⊥BC; (３)因为AB＝AC,AD⊥BC, 所以∠BAD＝∠CAD,BD＝CD． '. (１)条件:①“等边对等角”的适用条件 是在同一个三角形中,不在同一个三 角形中不能使用． ②“三线合一”指的是等腰三角形底边 上的高、底边上的中线、顶角的平分线 互相重合,对于腰上的高、腰上的中 线、底角的平分线则不一定成立． (２)知一推二性:“三线合一”实质上包 含三个定理,已知其中的“一线”就可 以推到另外“两线”． ７９ 等边对等角 【例２】如图１３．３Ｇ４,在△ABC 中,AB＝ AC,D 在 边 BC 上,且 BD ＝AD, DC＝AC,求∠B 的度数． 图１３．３Ｇ４ 解:因为AB＝AC,所以∠B＝∠C． 同理,∠B＝∠BAD,∠CAD＝∠ADC． 设∠B＝x,则∠C＝∠BAD＝x, 所以∠ADC＝∠CAD＝２x． 在△ADC 中, 因为∠C＋∠CAD＋∠ADC＝１８０°, 所以x＋２x＋２x＝１８０°, 所以x＝３６°, 即∠B 的度数为３６°． 4 　　在等腰三角形中求角的度数时, 常利用“等边对等角”和“三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的 和”,先用其中的一个角作未知量描述 其他 角,再 根 据 三 角 形 的 内 角 和 为 １８０°列方程求解． 三线合一 【例３】如图１３．３Ｇ５,在△ABC 中,AB＝ AC,CD⊥AB 于点D,BE⊥AC 于点 E,BE 与CD 相交于点O,连结OA． (１)求证:AD＝AE; (２)试判断直线 OA 与BC 的位置关 系,并说明理由． 图１３．３Ｇ５ (１)证明:在△ACD 与△ABE 中, 因 为 ∠CAD ＝ ∠BAE,∠ADC ＝ ∠AEB＝９０°,AC＝AB, 所以△ACD≌△ABE． 所以AD＝AE． (２)解:互相垂直．理由: 在Rt△ADO 和Rt△AEO 中, 因为OA＝OA,AD＝AE, 所以Rt△ADO≌Rt△AEO． 所以∠DAO＝∠EAO, 即OA 是∠BAC 的平分线． 又因为AB＝AC,所以OA⊥BC． 4 　　等腰三角形“三线合一”可分解为 三个结论: (１)等腰三角形顶角的平分线平分底 边且垂直于底边． (２)等腰三角形底边上的中线平分顶 角且垂直于底边． (３)等腰三角形底边上的高平分底边 且平分顶角． 知识点三　等边三角形的 概念及性质